اثبات بازگشتی: مجموع مربع‌ها: ریاضیات گسسته، فصل ۱

ایده

در اثبات بازگشتی از خودِ حکم شروع می‌کنی و آن را با مرحله‌های هم‌ارز ( $\Leftrightarrow$ ) ساده می‌کنی تا به گزاره‌ای همیشه درست برسی؛ چون مرحله‌ها برگشت‌پذیرند، حکم هم درست است. اگر نابرابری چندجمله‌ای است، طرفین را در یک عدد مثبت ضرب کن تا مخرج و ضریب‌ها مرتب شوند، همه چیز را به یک طرف ببر و آن را به مجموع مربع‌ها تبدیل کن؛ مجموع مربع‌ها هیچ‌وقت منفی نیست.

x^{۲} + y^{۲} + ۱ \geq x y + x + y \Leftrightarrow (x - ۱)^{۲} + (y - ۱)^{۲} + (x - y)^{۲} \geq ۰

نمونهٔ نهایی

نهایی تیر ۱۴۰۵، سؤال ۳۱/۲۵ نمره

برای هر دو عدد حقیقی $x$ و $y$ ،گزارهٔ زیر را به روش بازگشتی (گزاره‌های هم‌ارز) ثابت کنید:

\frac{x ^{۲} + y ^{۲}}{۴} \geq x - ۱

طرفین را در $۴$ ضرب کن تا مخرج برود.۰/۲۵ نمره
$\frac{x ^{۲} + y ^{۲}}{۴} \geq x - ۱ \Leftrightarrow x^{۲} + y^{۲} \geq ۴ x - ۴$
همهٔ جمله‌ها را به سمت چپ ببر.۰/۲۵ نمره
$\Leftrightarrow x^{۲} - ۴ x + ۴ + y^{۲} \geq ۰$
$x^{۲} - ۴ x + ۴$ را مربع کامل بنویس.۰/۲۵ نمره
$\Leftrightarrow (x - ۲)^{۲} + y^{۲} \geq ۰$
بگو نابرابری آخر همیشه درست است، چون مجموع دو مربع نامنفی است.۰/۲۵ نمره
بنویس که مرحله‌ها برگشت‌پذیرند (یا از $\Leftrightarrow$ استفاده کن) و حکم ثابت شد.۰/۲۵ نمره

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۴

۸ سؤال دیگر