شمول و عدم شمول: رمزهای رقمی

نهایی: در ۴ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۶ نمره

ایده

«حداقل یک رقم $a$ و یک رقم $b$ » را مستقیم نشمار. $S$ را همهٔ رمزهای ۴ رقمی (با تکرار) بگیر، $A$ را رمزهای بدون $a$ و $B$ را رمزهای بدون $b$ ؛ رمزِ مطلوب بیرونِ هر دو است. اگر $d$ رقم مجاز باشد، در هر خانه برای $A$ و $B$ یک رقم کمتر و برای $A \cap B$ دو رقم کمتر داری: $∣ S ∣ = d^{۴}$ ، $∣ A ∣ = ∣ B ∣ = (d - ۱)^{۴}$ ، $∣ A \cap B ∣ = (d - ۲)^{۴}$ .

∣ \overline{A} \cap \overline{B} ∣ = ∣ S ∣ - (∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣)

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۵، صبح، سؤال ۱۶۱/۵ نمره

با استفاده از اصل شمول و عدم شمول، تعداد رمزهای $۴$ رقمی شاملِ ارقام صفر تا $۹$ را به‌گونه‌ای تعیین کنید که هر یک از آن رمزها حداقل یک رقم $۲$ و یک رقم $۵$ را شامل می‌شود. (نوشتنِ جواب آخر، الزامی نیست)

همهٔ رمزها را بشمار: هر یک از چهار خانه هر ده رقم را می‌پذیرد.۰/۲۵ نمره
$∣ S ∣ = ۱۰ \times ۱۰ \times ۱۰ \times ۱۰ = ۱ ۰^{۴}$
$A$ را رمزهای بدون رقم $۲$ بگیر؛ هر خانه نه رقم می‌پذیرد.۰/۲۵ نمره
$A = {\overline{ab c d} ∣ a, b, c, d \neq = ۲} \Rightarrow ∣ A ∣ = ۹^{۴}$
$B$ را رمزهای بدون رقم $۵$ بگیر.۰/۲۵ نمره
$B = {\overline{ab c d} ∣ a, b, c, d \neq = ۵} \Rightarrow ∣ B ∣ = ۹^{۴}$
رمزهای بدون $۲$ و بدون $۵$ : هر خانه هشت رقم می‌پذیرد.۰/۲۵ نمره
$A \cap B = {\overline{ab c d} ∣ a, b, c, d \neq = ۲, ۵} \Rightarrow ∣ A \cap B ∣ = ۸^{۴}$
رمزی که هم $۲$ دارد و هم $۵$ بیرونِ $A \cup B$ است؛ از کل، اجتماع را کم کن.۰/۵ نمره
$∣ \overline{A} \cap \overline{B} ∣ = ∣ S ∣ - ∣ A \cup B ∣ = ۱ ۰^{۴} - (۹^{۴} + ۹^{۴} - ۸^{۴}) = ۹۷۴$

شمول و عدم شمول: رمزهای رقمی

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۴