اثبات رابطه‌های بیضی

نهایی: در ۴ امتحان از ۲۵، روی‌هم ۴/۵ نمره

ایده

این اثبات‌ها یک مثلث قائم‌الزاویه می‌سازند و فیثاغورس می‌زنند؛ ضلع‌هایش را بر حسب $a$ ، $b$ و $c$ بنویس. برای نوشتن ضلع‌ها از این‌ها کمک بگیر: تعریف بیضی ( $M F + M F^{'} = ۲ a$ )، برابری فاصله‌های نقطهٔ روی عمودمنصف $F F^{'}$ و شعاع دایره. سر قطر کوچک روی عمودمنصف $F F^{'}$ است، پس $B F = B F^{'} = a$ .

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۰، سؤال ۸۱ نمره

در شکل مقابل اگر $O F = c, O B = b, O A = a$ باشد،ثابت کنید : $a^{۲} = b^{۲} + c^{۲}$

بیضی به مرکز O با قطر بزرگ A′A و قطر کوچک B′B؛ کانون‌های F′ و F روی قطر بزرگ؛ پاره‌خط‌های BF′ و BF رسم شده و در O علامت زاویهٔ قائمه گذاشته شده است

$O$ وسط $F F^{'}$ است و $B O ⊥ F F^{'}$ ، پس $B$ روی عمودمنصف $F F^{'}$ قرار دارد.۰/۲۵ نمره
$B F = B F^{'} (۱)$
$B$ روی بیضی است، پس $B F + B F^{'} = ۲ a$ و با تساوی $(۱)$ هر کدام برابر $a$ می‌شود.۰/۲۵ نمره
$B F + B F^{'} = ۲ a (۱) B F = B F^{'} = a$
در مثلث قائم‌الزاویهٔ $B O F$ فیثاغورس را بنویس.۰/۲۵ نمره
$O F^{۲} + O B^{۲} = B F^{۲}$
$O F = c$ و $O B = b$ و $B F = a$ را جایگذاری کن.۰/۲۵ نمره
$c^{۲} + b^{۲} = a^{۲}$

اثبات رابطه‌های بیضی

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۴