مشتق با مقدارهای داده‌شده

نهایی: در ۵ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۴/۲۵ نمرهکنکور: ۱ سؤال

ایده

وقتی ضابطهٔ دست‌کم یکی از تابع‌ها را نداری و فقط مقدار مشتق‌ها (و گاهی خودِ تابع‌ها) در یک نقطه داده شده، قاعدهٔ مشتق را با نمادها بنویس و بعد عددها را بگذار. در ترکیب، مشتق بیرونی را در $g (a)$ می‌خواهی، نه در $a$ . حدی به شکل $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ همان $f^{'} (a)$ است. جمع و ضریب ثابت ساده‌اند: $(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}$ و $(k f)^{'} = k f^{'}$ .

(f g)^{'} (a) = f^{'} (a) g (a) + f (a) g^{'} (a), (f \circ g)^{'} (a) = g^{'} (a) f^{'} (g (a))

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۱۱۱ نمره

اگر $g^{'} (۲) = ۳$ ، $g (۲) = ۵$ و $x \to ۵ lim \frac{f ( x ) - f ( ۵ )}{x - ۵} = ۴$ باشد، آنگاه مشتق تابع $h (x) = (f o g) (x)$ را در $x = ۲$ به‌دست آورید.

حد داده‌شده همان تعریف مشتق $f$ در $x = ۵$ است.۰/۲۵ نمره
$x \to ۵ lim \frac{f ( x ) - f ( ۵ )}{x - ۵} = f^{'} (۵) = ۴$
قاعدهٔ زنجیره‌ای را برای $h = f \circ g$ بنویس و $g^{'} (۲) = ۳$ را بگذار.۰/۲۵ نمره
$h^{'} (۲) = g^{'} (۲) f^{'} (g (۲)) = ۳ f^{'} (g (۲))$
$g (۲) = ۵$ است، پس مشتق بیرونی را در $۵$ می‌خواهیم.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (g (۲)) = f^{'} (۵)$
مقدار $f^{'} (۵)$ را بگذار و ضرب کن.۰/۲۵ نمره
$h^{'} (۲) = ۳ \times ۴ = ۱۲$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۵

کنکور ۱

کنکور تجربی ۱۴۰۲، نوبت اول، سؤال ۱۲۹