نقطهٔ بحرانی و اکسترمم نسبی: ریاضی ۳، فصل ۵

ایده

نقطهٔ بحرانی نقطه‌ای از دامنه است که $f^{'}$ در آن صفر است یا وجود ندارد؛ اگر بازه داده‌اند، ریشه‌ای که بیرون آن است کنار می‌رود. اکسترمم نسبی فقط در نقطهٔ بحرانی رخ می‌دهد: جدول علامت $f^{'}$ را بکش و ببین $f^{'}$ دور و بر آن از مثبت به منفی می‌رود (ماکزیمم نسبی)، از منفی به مثبت (مینیمم نسبی) یا علامتش عوض نمی‌شود (هیچ‌کدام). دو سر بازه اکسترمم نسبی نیستند.

نمونهٔ نهایی

نهایی شهریور ۱۴۰۲، سؤال ۱۳۱/۷۵ نمره

نقاط بحرانی تابع زیر را به‌دست آورید و سپس با رسم جدول تغییرات تابع، نقاط ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی آن را در صورت وجود مشخص کنید.

f (x) = - ۲ x^{۳} + ۳ x^{۲} + ۱۲ x - ۹

از $f$ مشتق بگیر و برابر صفر قرار بده تا نقطه‌های بحرانی پیدا شوند.۰/۲۵ نمره
$f^{'} (x) = - ۶ x^{۲} + ۶ x + ۱۲ = ۰$
معادله را حل کن: مشتق چندجمله‌ای همه‌جا وجود دارد، پس نقطه‌های بحرانی فقط ریشه‌های آن‌اند.۰/۵ نمره
$- ۶ (x + ۱) (x - ۲) = ۰ \Rightarrow x = - ۱, x = ۲$
علامت $f^{'}$ را در سه بازه بنویس و جدول تغییرات را با مقدار $f$ در دو ریشه رسم کن.۰/۵ نمره
$x f^{'} f - \infty - ↘ - ۱ ۰ - ۱۶ + ↗ ۲ ۰ ۱۱ - ↘ + \infty$
در $x = ۲$ علامت $f^{'}$ از مثبت به منفی عوض می‌شود، پس ماکزیمم نسبی است.۰/۲۵ نمره
$(۲, ۱۱) ماکزیمم نسبی$
در $x = - ۱$ علامت $f^{'}$ از منفی به مثبت عوض می‌شود، پس مینیمم نسبی است.۰/۲۵ نمره
$(- ۱, - ۱۶) مینیمم نسبی$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۱

۵ سؤال دیگر

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۱

کنکور ۳