مساحت و محیط: مستطیل و مثلث: ریاضی ۳، فصل ۵

ایده

مساحت یا محیطی را که باید بیشترین یا کمترین شود بر حسب اندازه‌های شکل (ضلع‌ها، شعاع) بنویس. شرط مسئله (محیط ثابت، طول نرده، مساحت ثابت یا رابطه‌ای بین ضلع‌ها) یک اندازه را بر حسب اندازهٔ دیگر می‌دهد؛ آن را جایگزین کن تا تابع یک متغیره شود، و اگر اندازه‌ها از اول بر حسب یک متغیرند، همان را مستقیم بنویس. مشتق را صفر کن، ریشهٔ قابل قبول را بگیر و اگر اندازهٔ دیگر را هم می‌خواهند، از همان رابطه حساب کن.

۲ (x + y) = ۱۴ \Rightarrow y = ۷ - x \Rightarrow S (x) = x (۷ - x)

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۴، سؤال ۱۵۱/۵ نمره

می‌خواهیم مطابق شکل مقابل، سه ضلع یک محوطه به شکل مستطیل را در کنار رودخانه نرده‌کشی کنیم. اگر تنها هزینهٔ $۱۰۰$ متر نرده را در اختیار داشته باشیم، به کمک جدول تغییرات، بیشترین مساحت ممکن برای این مستطیل را محاسبه کنید.

مستطیلی در کنار رودخانه با ضلع بالایی x و دو ضلع کناری y

نرده سه ضلع را می‌پوشاند: یک ضلع $x$ و دو ضلع $y$ ؛ $x$ را بر حسب $y$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$x + ۲ y = ۱۰۰ \Rightarrow x = ۱۰۰ - ۲ y$
مساحت را بر حسب $y$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$S = x y = (۱۰۰ - ۲ y) y = ۱۰۰ y - ۲ y^{۲}$
از $S$ مشتق بگیر و برابر صفر قرار بده.۰/۲۵ نمره
$S^{'} (y) = ۱۰۰ - ۴ y = ۰$
معادله را حل کن.۰/۲۵ نمره
$y = ۲۵$
$x$ را از رابطه بنویس و بیشترین مساحت را حساب کن.۰/۲۵ نمره
$x = ۱۰۰ - ۲ (۲۵) = ۵۰ \Rightarrow S_{m a x} = ۵۰ \times ۲۵ = ۱۲۵۰$
علامت $S^{'}$ را در جدول تغییرات بنویس، با $۰ < y < ۵۰$ از شرط $x > ۰$ .۰/۲۵ نمره
$۰ < y < ۲۵ : S^{'} > ۰ ↗ ۲۵ < y < ۵۰ : S^{'} < ۰ ↘ \Rightarrow y = ۲۵ ماکزیمم مطلق$

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۱۰

۴ سؤال دیگر