مثلث‌های روی بیضی: طول و مساحت

نهایی: در ۲ امتحان از ۲۶، روی‌هم ۲/۵ نمره

ایده

سر قطر کوچک، $B$ ، روی بیضی و روی عمودمنصف $F F^{'}$ است، پس $B F = B F^{'}$ و از $B F + B F^{'} = ۲ a$ نتیجه می‌شود $B F = a$ . در مثلث قائم‌الزاویهٔ $B O F$ ضلع‌ها $O B = b$ و $O F = c$ و وتر $a$ است. طول هر پاره‌خط روی قطر بزرگ را از $a$ و $c$ بساز (مثلاً $A^{'} F = a + c$ ) و مساحت مثلث را با قاعده‌ای روی قطر بزرگ و ارتفاع $O B = b$ بنویس.

نمونهٔ نهایی

نهایی خرداد ۱۴۰۲، سؤال ۱۳، بخش پ۱ نمره

در بیضی مقابل کانون‌ها به مختصات $F (۱, ۵)$ و $F^{'} (۱, ۱)$ و یک رأس قطر بزرگ آن $A (۱, ۶)$ می‌باشد:

بیضی عمودی با رأس‌های A (بالا) و A′ (پایین) و B (چپ) و B′ (راست)، مرکز O، کانون‌های F و F′ روی قطر بزرگ (نقطه‌چین) و پاره‌خط‌های B′F و B′F′

پ)

مساحت مثلث $B^{'} F F^{'}$ را بدست آورید.

$O B^{'}$ همان $b$ است؛ آن را از $O A = a$ و $O F = c$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$O B^{'} = O A^{۲} - O F^{۲}$
مرکز $O (۱, ۳)$ وسط $F F^{'}$ است؛ $O A$ و $O F$ را از مختصات بخوان و جای بگذار.۰/۲۵ نمره
$O A = ۶ - ۳ = ۳, O F = ۵ - ۳ = ۲ \Rightarrow O B^{'} = ۹ - ۴ = ۵$
مساحت مثلث $B^{'} F F^{'}$ را با قاعدهٔ $F F^{'}$ و ارتفاع $O B^{'}$ بنویس.۰/۲۵ نمره
$S = \frac{۱}{۲} \times O B^{'} \times F F^{'}$
$F F^{'} = ۴$ را بگذار.۰/۲۵ نمره
$S = \frac{۱}{۲} \times ۵ \times ۴ = ۲ ۵$

مثلث‌های روی بیضی: طول و مساحت

ایده

نمونهٔ نهایی

همهٔ سؤال‌های این تیپ

امتحان نهایی ۳