KonkurStudy
همه کارت‌ها
مفهومالکترومغناطیسمگنتواستاتیک

مغناطیس ساکن: میدان‌ها، نیروها، مواد مغناطیسی و اندوکتانس

جعبه‌ابزار مغناطیس ساکن — قانون بیو–ساوار و قانون آمپر برای میدان جریان‌های پایا، نیروی لورنتس بر بارهای متحرک و بر سیم‌ها و حلقه‌ها (در میدان یکنواخت و غیریکنواخت)، مواد مغناطیده و مواد با تراوایی متغیر همراه با جریان‌های مقید، شرایط مرزی و پتانسیل اسکالر مغناطیسی، و اندوکتانس خودی/متقابل و انرژی — به‌همراه قواعد تصمیم‌گیری برای انتخاب ابزار مناسب.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی برق

اهمیت
۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی

مغناطیس ساکن (مگنتواستاتیک) میدان مغناطیسی جریان‌های پایا را توصیف می‌کند (∂/∂t=0\partial/\partial t=0، پس نه جریان جابه‌جایی وجود دارد و نه تابش). دو قانونِ منبع میدان را تولید می‌کنند، یک قانونِ نیرو اثر آن را آشکار می‌کند، و روابط ساختاری و شرایط مرزی رفتار ماده را در بر می‌گیرند. معادلات حاکم عبارت‌اند از

∇×H=Jfree,∇⋅B=0,B=μ0(H+M).\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_{\text{free}},\qquad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,\qquad \mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}).

رابطهٔ ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B}=0 می‌گوید خطوط میدان روی خودشان بسته می‌شوند (بار مغناطیسی وجود ندارد)؛ ∇×H=Jfree\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_{\text{free}} شکل دیفرانسیلی قانون آمپر است. به تقسیم کار توجه کنید: H\mathbf{H} فقط از جریان آزاد ناشی می‌شود، در حالی که B\mathbf{B} هم از جریان آزاد و هم از جریان مقید (جریان مغناطش) ناشی می‌شود. هرچه در ادامه می‌آید راهی است برای حل این دو معادله، یا برای استفاده از جواب آن‌ها.

۲. قوانین و فرمول‌های کلیدی

۲.۱ میدان یک جریان معلوم

قانون بیو–ساوار — میدان یک جریان پایای دلخواه، که همواره معتبر است:

B(r)=μ0I4π∫dℓ′×R^R2,R=r−r′.\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{d\boldsymbol{\ell}'\times\hat{\mathbf{R}}}{R^{2}},\qquad \mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'.

نتایج مرجعی که ارزش به‌خاطر سپردن دارند:

منبع میدان
سیم مستقیم بی‌نهایت، در فاصلهٔ rr B=μ0I2πrB=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} (سمتی)
سیم مستقیم متناهی، در فاصلهٔ عمودی ρ\rho B=μ0I4πρ(sin⁡θ2−sin⁡θ1)B=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi\rho}(\sin\theta_2-\sin\theta_1)
مرکز یک حلقهٔ دایره‌ای به شعاع aa B=μ0I2aB=\dfrac{\mu_0 I}{2a}
روی محور یک حلقه، در فاصلهٔ zz B=μ0Ia22(a2+z2)3/2B=\dfrac{\mu_0 I a^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}
سیملولهٔ بلند با nn دور بر متر B=μ0nIB=\mu_0 n I (در داخل، یکنواخت)؛ 00 در خارج
صفحهٔ جریان بی‌نهایت با KK آمپر بر متر H=12KH=\tfrac12 K در هر طرف، موازی با صفحه و ⊥K\perp\mathbf{K}

قانون آمپر (شکل انتگرالی) — دقیق است، اما فقط زمانی سودمند است که تقارن کافی وجود داشته باشد تا بتوان HH را از انتگرال روی حلقه بیرون کشید. جریانِ محصور، جریان آزاد است:

∮H⋅dℓ=Ifree,enc,∮B⋅dℓ=μ0(Ifree,enc+Ibound,enc).\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I_{\text{free,enc}},\qquad \oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0\left(I_{\text{free,enc}}+I_{\text{bound,enc}}\right).

سیملوله به‌عنوان صفحهٔ جریان. یک جریان سطحی سمتی K=Kφ^\mathbf{K}=K\hat{\boldsymbol{\varphi}} روی یک استوانهٔ بی‌نهایت بلند، همان سیملولهٔ ایده‌آل با K=nIK=nI است. یک حلقهٔ آمپریِ مستطیلی به طول محوری ℓ\ell که صفحهٔ جریان را در بر می‌گیرد می‌دهد Hℓ=KℓH\ell=K\ell، پس

H=K z^  (inside),H=0  (outside),\mathbf{H}=K\,\hat{\mathbf{z}}\ \ (\text{inside}),\qquad \mathbf{H}=0\ \ (\text{outside}),

صرف‌نظر از شکل سطح مقطع، و صرف‌نظر از ماده‌ای که آن را پر کرده است، به شرط آنکه μ\mu در راستای محور تغییر نکند (در این صورت B=μH\mathbf{B}=\mu\mathbf{H} محوری و مستقل از zz است و ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B}=0 خودبه‌خود برقرار می‌شود).

۲.۲ نیروها

نیروی لورنتس بر بار نقطه‌ای qq که با سرعت v\mathbf{v} حرکت می‌کند:

F=q(E+v×B).\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right).

بخش مغناطیسی همواره بر v\mathbf{v} عمود است، پس مسیر را خم می‌کند اما هیچ کاری انجام نمی‌دهد. دو نتیجهٔ استاندارد:

  • حرکت روی خط راست (سرعت‌گزین). بار زمانی منحرف نمی‌شود که E+v×B=0\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}=0. با E⊥B\mathbf{E}\perp\mathbf{B} و v\mathbf{v} عمود بر هر دو، این شرط مستلزم v=EBv=\dfrac{E}{B} است، مستقل از qq و mm.
  • حرکت دایره‌ای در یک B\mathbf{B} یکنواخت به‌تنهایی: شعاع r=mv⊥∣q∣Br=\dfrac{m v_\perp}{\lvert q\rvert B}، فرکانس زاویه‌ای ωc=∣q∣Bm\omega_c=\dfrac{\lvert q\rvert B}{m}.

نیرو بر سیم حامل جریان — همان قانون، که روی بارهای متحرک جمع زده شده است:

dF=I dℓ×B,F=I∫dℓ×B.d\mathbf{F}=I\,d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B},\qquad \mathbf{F}=I\int d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}.

در میدان یکنواخت این رابطه به میان‌بُر وتر ساده می‌شود

F=I Leff×B,Leff=start→end vector,\mathbf{F}=I\,\mathbf{L}_{\text{eff}}\times\mathbf{B},\qquad \mathbf{L}_{\text{eff}}=\text{start}\to\text{end vector},

پس نیروی خالص بر سیمی با هر شکل دلخواه فقط به دو سرِ آن بستگی دارد (به یک حلقهٔ بسته نیروی خالص صفر وارد می‌شود و فقط گشتاور τ=m×B\boldsymbol{\tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B} با m=IA\mathbf{m}=I\mathbf{A} بر آن اثر می‌کند).

در میدان غیریکنواخت به یک حلقهٔ بسته واقعاً نیروی خالص وارد می‌شود و انتگرال را باید ضلع به ضلع محاسبه کرد. رایج‌ترین حالت، یک حلقهٔ مسطح (با جریان I1I_1) است که در صفحهٔ یک سیم مستقیم بلند قرار دارد (جریان I2I_2 در راستای +y^+\hat{\mathbf{y}}، حلقه در ناحیهٔ x>0x>0). در آنجا B=−μ0I22πxz^\mathbf{B}=-\dfrac{\mu_0 I_2}{2\pi x}\hat{\mathbf{z}} است، و با dℓ=dx x^+dy y^d\boldsymbol{\ell}=dx\,\hat{\mathbf{x}}+dy\,\hat{\mathbf{y}} داریم dℓ×z^=dy x^−dx y^d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{z}}=dy\,\hat{\mathbf{x}}-dx\,\hat{\mathbf{y}}، در نتیجه

F=μ0I1I22π[−x^∮dyx+y^∮dxx]=−x^ μ0I1I22π∮dyx,\mathbf{F}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}\left[-\hat{\mathbf{x}}\oint\frac{dy}{x}+\hat{\mathbf{y}}\oint\frac{dx}{x}\right]=-\hat{\mathbf{x}}\,\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}\oint\frac{dy}{x},

زیرا روی هر مسیر بسته ∮dx/x=0\oint dx/x=0 است. نیروی خالص همواره بر سیم عمود است، و فقط باید ∮dy/x\oint dy/x محاسبه شود: ضلعی موازی با سیم در فاصلهٔ x0x_0 و به طول hh سهم ±h/x0\pm h/x_0 دارد؛ ضلعی عمود بر سیم سهم 00 دارد؛ و یک ضلع مستقیمِ مایل با شیب s=dy/dxs=dy/dx که از x1x_1 تا x2x_2 امتداد دارد سهم sln⁡x2x1s\ln\dfrac{x_2}{x_1} دارد. (اگر جریان سیم در راستای −y^-\hat{\mathbf{y}} باشد، علامت کل را وارون کنید.)

برای حلقه‌ای که در مقایسه با مقیاس تغییرات B\mathbf{B} کوچک است، شکل دوقطبی به کار می‌رود: F=∇(m⋅B)\mathbf{F}=\nabla(\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}).

۲.۳ مواد مغناطیسی

برای یک محیط خطی

M=χmH,B=μ0(1+χm)H=μ0μrH.\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H},\qquad \mathbf{B}=\mu_0(1+\chi_m)\mathbf{H}=\mu_0\mu_r\mathbf{H}.

برای جسمی با مغناطش دائمی، M\mathbf{M} معلوم است و متناسب با H\mathbf{H} نیست؛ فقط رابطهٔ کلی B=μ0(H+M)\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M}) برقرار است.

مغناطش هم‌ارز با جریان‌های مقید است

Jb=∇×M(volume),Jms=Kb=M×n^(surface, n^ outward).\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M}\quad(\text{volume}),\qquad \mathbf{J}_{ms}=\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{\mathbf{n}}\quad(\text{surface},\ \hat{\mathbf{n}}\ \text{outward}).

دو حالت استوانه‌ای که در عمل پیش می‌آیند:

M=Mφ(ρ) φ^ ⇒ Jb=1ρddρ(ρMφ)z^,M=Mz(ρ) z^ ⇒ Jb=−dMzdρ φ^.\mathbf{M}=M_\varphi(\rho)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\ \Rightarrow\ \mathbf{J}_b=\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\left(\rho M_\varphi\right)\hat{\mathbf{z}},\qquad \mathbf{M}=M_z(\rho)\,\hat{\mathbf{z}}\ \Rightarrow\ \mathbf{J}_b=-\frac{dM_z}{d\rho}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.

جریان مقید کل که از هر سطح مقطعِ یک جسم مغناطیده می‌گذرد صفر است (سهم حجمی و سهم سطحی یکدیگر را خنثی می‌کنند) — یک آزمون صحت سودمند.

شرایط مرزی در یک فصل مشترک با جریان آزاد سطحی K\mathbf{K} (بردار n^\hat{\mathbf{n}} از محیط ۲ به سمت محیط ۱ است):

Bn1=Bn2 (normal B continuous),n^×(H1−H2)=K (tangential H jumps by K).B_{n1}=B_{n2}\ (\text{normal }\mathbf{B}\text{ continuous}),\qquad \hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)=\mathbf{K}\ (\text{tangential }\mathbf{H}\text{ jumps by }K).

۲.۴ پتانسیل اسکالر مغناطیسی (نواحی بدون جریان)

هر جا Jfree=0\mathbf{J}_{\text{free}}=0 باشد، ∇×H=0\nabla\times\mathbf{H}=0 است و می‌توان نوشت

H=−∇Vm,Vm(P1)−Vm(P2)=∫P1P2H⋅dℓ[A].\mathbf{H}=-\nabla V_m,\qquad V_m(P_1)-V_m(P_2)=\int_{P_1}^{P_2}\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}\quad[\text{A}].

H\mathbf{H} از VmV_m بالا به سمت VmV_m پایین است. با جای‌گذاری در ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B}=0 همراه با B=μH\mathbf{B}=\mu\mathbf{H} معادلهٔ حاکم به دست می‌آید

∇⋅(μ ∇Vm)=0,\nabla\cdot\left(\mu\,\nabla V_m\right)=0,

که فقط در صورت یکنواخت بودن μ\mu به معادلهٔ لاپلاس ∇2Vm=0\nabla^{2}V_m=0 تبدیل می‌شود. در یک محیط یک‌بعدی با تراوایی متغیر μ=μ(x)\mu=\mu(x) بین صفحه‌های x1x_1 و x2x_2، این معادله می‌گوید که BxB_x ثابت است:

Bx=μ(x)Hx=const,Hx(x)=Bxμ(x),Bx=Vm(x1)−Vm(x2)∫x1x2dxμ(x).B_x=\mu(x)H_x=\text{const},\qquad H_x(x)=\frac{B_x}{\mu(x)},\qquad B_x=\frac{V_m(x_1)-V_m(x_2)}{\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\mu(x)}}.

این دقیقاً همتای Dx=constD_x=\text{const}، Ex∝1/ε(x)E_x\propto1/\varepsilon(x) در یک دی‌الکتریک با گذردهی متغیر و همتای Jx=constJ_x=\text{const}، Ex∝1/σ(x)E_x\propto1/\sigma(x) در یک رسانا با رسانندگی متغیر است؛ ∫dx/μ\int dx/\mu رلوکتانس بر واحد سطح است.

۲.۵ اندوکتانس و انرژی

اندوکتانس خودی. شار پیوندی λ=NΦ=LI\lambda=N\Phi=LI:

L=λI=NΦI.L=\frac{\lambda}{I}=\frac{N\Phi}{I}.

اندوکتانس متقابل. مدار ۱ را تحریک کنید و شاری را که با مدار ۲ پیوند می‌خورد اندازه بگیرید:

M21=N2Φ21I1,M12=M21=M(reciprocity),M=μ04π∮C1∮C2dℓ1⋅dℓ2R(Neumann).M_{21}=\frac{N_2\Phi_{21}}{I_1},\qquad M_{12}=M_{21}=M\quad(\text{reciprocity}),\qquad M=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C_1}\oint_{C_2}\frac{d\boldsymbol{\ell}_1\cdot d\boldsymbol{\ell}_2}{R}\quad(\text{Neumann}).

MM فقط به هندسه و به μ\mu بستگی دارد، و ∣M∣≤L1L2\lvert M\rvert\le\sqrt{L_1L_2} (ضریب تزویج k=∣M∣/L1L2≤1k=\lvert M\rvert/\sqrt{L_1L_2}\le1).

انرژی. چگالی انرژی در یک محیط خطی برابر است با

w=12 B⋅H=12μH2=B22μ,w=\tfrac12\,\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}=\tfrac12\mu H^{2}=\frac{B^{2}}{2\mu},

و انرژی ذخیره‌شده برابر است با

W=12∫VB⋅H dV=12LI2,W=12L1I12+12L2I22+MI1I2  (two circuits).W=\tfrac12\int_V\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\,dV=\tfrac12 LI^{2},\qquad W=\tfrac12L_1I_1^{2}+\tfrac12L_2I_2^{2}+MI_1I_2\ \ (\text{two circuits}).

وقتی μ\mu با مکان تغییر می‌کند باید درون انتگرال بماند: هرگاه HH میدانی باشد که منابع آن را تعیین می‌کنند از 12μ(r)H2\tfrac12\mu(\mathbf{r})H^{2} استفاده کنید، و هرگاه BB چنین باشد از B2/2μ(r)B^{2}/2\mu(\mathbf{r}). نیروی بین دو مدار در جریان‌های ثابت از جملهٔ متقابل به دست می‌آید: F=I1I2∇M\mathbf{F}=I_1I_2\nabla M.

۳. روش — انتخاب ابزار مناسب

  1. هدف میدان است، یا نیرو/انرژی؟ میدان ⇒\Rightarrow بیو–ساوار یا آمپر؛ نیرو ⇒\Rightarrow لورنتس؛ یک ویژگیِ سیم‌پیچ ⇒\Rightarrow اندوکتانس/انرژی.
  2. برای میدان، تقارن را بررسی کنید. تقارن بالا (سیم/صفحه/سیملولهٔ بی‌نهایت، محیط‌های هم‌محور) ⇒\Rightarrow قانون آمپر: حلقهٔ آمپری‌ای انتخاب کنید که روی آن HH ثابت و موازی با dℓd\boldsymbol{\ell} باشد، تا H⋅(path)=Ifree,encH\cdot(\text{path})=I_{\text{free,enc}} شود. در غیر این صورت (حلقه‌های متناهی، کمان‌ها، نقاط خارج از محور) ⇒\Rightarrow بیو–ساوار، و هرگاه چند منبع اثر می‌کنند سهم‌ها را برهم‌نهی کنید.
  3. در حضور محیط‌های مغناطیسی، از روی هندسه تعیین کنید که کدام میدان در هر فصل مشترک پیوسته است: اگر میدان بر فصل مشترک مماس است از پیوستگی HtH_t استفاده کنید (جمع ∑Hkℓk\sum H_k\ell_k را تشکیل دهید)؛ اگر میدان بر آن عمود است از پیوستگی BnB_n استفاده کنید. سپس قانون آمپر را با Hi=B/μiH_i=B/\mu_i در هر ناحیه به کار ببرید. برای μ\mu با تغییرات پیوسته نیز همین قاعده برقرار است: H\mathbf{H} وقتی همه‌جا بر سطوح μ\mu ثابت مماس باشد از این تغییرات اثر نمی‌پذیرد؛ B\mathbf{B} وقتی همه‌جا بر آن‌ها عمود باشد اثر نمی‌پذیرد.
  4. برای ناحیه‌ای بدون جریان با پتانسیل‌های معلوم، معادلهٔ لاپلاس را حل نکنید مگر آنکه μ\mu یکنواخت باشد. در حالت یک‌بعدی بنویسید H=C/μH=C/\mu، با انتگرال‌گیری ∫H dx=Vm(x1)−Vm(x2)\int H\,dx=V_m(x_1)-V_m(x_2) مقدار CC را تعیین کنید، و علامت را از قاعدهٔ "high Vm→V_m\to low VmV_m" (از پتانسیل بالا به پتانسیل پایین) به دست آورید.
  5. برای مغناطش معلوم (دائمی)، ابتدا سراغ H\mathbf{H} بروید: بدون جریان آزاد و با تقارن کافی، قانون آمپر می‌دهد H=0\mathbf{H}=0 و سپس B=μ0M\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{M} در داخل و B=0\mathbf{B}=0 در خارج — بدون نیاز به جریان‌های مقید. در غیر این صورت (یا برای آزمون صحت) Jb=∇×M\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M} و Kb=M×n^\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{\mathbf{n}} را روی همهٔ سطوح محاسبه کنید و از ∮B⋅dℓ=μ0Ibound,enc\oint\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0I_{\text{bound,enc}} استفاده کنید. برای محیط خطی ابتدا M=χmH\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H} را به دست آورید و سپس همان فرمول‌های جریان مقید را به کار ببرید.
  6. برای نیرو بر یک بار، E\mathbf{E} و B\mathbf{B} را در مکان بار بنویسید، q(E+v×B)q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}) را با انجام ضرب خارجی برحسب بردارهای یکه تشکیل دهید، و شرط گفته‌شده را اعمال کنید (نیروی صفر برای حرکت روی خط راست، تعادل مرکزگرا برای دایره).
  7. برای نیرو بر سیم در میدان یکنواخت، از انتگرال صرف‌نظر کنید: از وتر F=ILeff×B\mathbf{F}=I\mathbf{L}_{\text{eff}}\times\mathbf{B} استفاده کنید. در میدان غیریکنواخت هر ضلع را پارامتری کنید، از dFd\mathbf{F} انتگرال بگیرید و اضلاع را به‌صورت برداری جمع کنید؛ در کنار یک سیم بلند مستقیماً از ∮dy/x\oint dy/x استفاده کنید.
  8. برای اندوکتانس خودی، Φ\Phi را از جریان محاسبه کنید (آمپر/بیو–ساوار)، λ=NΦ\lambda=N\Phi را تشکیل دهید و تقسیم کنید — یا اگر هندسه (یا μ\mu متغیر) محاسبهٔ ∫B⋅H dV\int\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\,dV را ساده‌تر می‌کند، از انرژی L=2W/I2L=2W/I^{2} استفاده کنید.
  9. برای اندوکتانس متقابل، از قضیهٔ هم‌پاسخی استفاده کنید تا مداری را تحریک کنید که میدانش را به شکل بسته می‌دانید (سیم بلند، سیملوله، حلقهٔ بزرگ) و آن میدان را روی مدارِ دیگر انتگرال بگیرید. اگر مدار دیگر کوچک باشد، میدان روی آن یکنواخت است: M≈N2 B1(at its position)⋅A2/I1M\approx N_2\,B_1(\text{at its position})\cdot A_2/I_1.

۴. مثال‌های کوتاه حل‌شده

۴.۱ میدان در کنار یک سیم مستقیم متناهی (بیو–ساوار)

قطعه‌ای از سیم روی محور zz از z=−az=-a تا z=+az=+a جریان II را در جهت +z^+\hat{\mathbf{z}} حمل می‌کند. B\mathbf{B} را در نقطهٔ (ρ,0,0)(\rho,0,0) روی عمودمنصف آن بیابید.

با dℓ′=dz′ z^d\boldsymbol{\ell}'=dz'\,\hat{\mathbf{z}} و R=(ρ,0,−z′)\mathbf{R}=(\rho,0,-z')، ضرب خارجی dℓ′×R^d\boldsymbol{\ell}'\times\hat{\mathbf{R}} در جهت +φ^+\hat{\boldsymbol{\varphi}} و با اندازهٔ ρ dz′(ρ2+z′2)1/2\dfrac{\rho\,dz'}{(\rho^{2}+z'^{2})^{1/2}} است، پس

Bφ=μ0I4π∫−aaρ dz′(ρ2+z′2)3/2=μ0I4πρ[z′ρ2+z′2]−aa=μ0I4πρ⋅2aρ2+a2.B_\varphi=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int_{-a}^{a}\frac{\rho\,dz'}{(\rho^{2}+z'^{2})^{3/2}}=\frac{\mu_0 I}{4\pi\rho}\left[\frac{z'}{\sqrt{\rho^{2}+z'^{2}}}\right]_{-a}^{a}=\frac{\mu_0 I}{4\pi\rho}\cdot\frac{2a}{\sqrt{\rho^{2}+a^{2}}}.

با نوشتن sin⁡θ=a/ρ2+a2\sin\theta=a/\sqrt{\rho^{2}+a^{2}} شکل استاندارد Bφ=μ0I4πρ(sin⁡θ2−sin⁡θ1)B_\varphi=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi\rho}(\sin\theta_2-\sin\theta_1) با θ2=θ\theta_2=\theta، θ1=−θ\theta_1=-\theta به دست می‌آید. وقتی a→∞a\to\infty، sin⁡θ→1\sin\theta\to1 و نتیجهٔ سیم بی‌نهایت B=μ0I2πρB=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi\rho} بازیابی می‌شود — همان پاسخی که قانون آمپر، وقتی سیم بی‌نهایت باشد، در یک خط می‌دهد. دقیقاً به همین دلیل است که فقط در تقارن کامل سراغ آمپر می‌روید و برای قطعه‌های متناهی سراغ بیو–ساوار.

۴.۲ استوانه‌ای با مغناطش دائمی (ابتدا از H\mathbf{H} استفاده کنید)

یک استوانهٔ توپرِ بی‌نهایت بلند به شعاع aa دارای مغناطش منجمدِ M=M0(ρ/a)2φ^\mathbf{M}=M_0\left(\rho/a\right)^{2}\hat{\boldsymbol{\varphi}} است و هیچ جریان آزادی ندارد. B\mathbf{B} را در همه‌جا بیابید.

راه سریع. بنا بر تقارن H=Hφ(ρ)φ^\mathbf{H}=H_\varphi(\rho)\hat{\boldsymbol{\varphi}} است، و دایره‌ای به شعاع ρ\rho هیچ جریان آزادی را محصور نمی‌کند: Hφ⋅2πρ=0H_\varphi\cdot2\pi\rho=0، پس در همه‌جا H=0\mathbf{H}=0. آنگاه

B=μ0(H+M)=μ0M0ρ2a2 φ^  (ρ<a),B=0  (ρ>a).\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})=\mu_0M_0\frac{\rho^{2}}{a^{2}}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\ \ (\rho<a),\qquad \mathbf{B}=0\ \ (\rho>a).

آزمون صحت با جریان‌های مقید. Jb=1ρddρ(M0ρ3a2)z^=3M0ρa2z^\mathbf{J}_b=\dfrac{1}{\rho}\dfrac{d}{d\rho}\left(\dfrac{M_0\rho^{3}}{a^{2}}\right)\hat{\mathbf{z}}=\dfrac{3M_0\rho}{a^{2}}\hat{\mathbf{z}}. جریان مقیدِ درون شعاع ρ\rho برابر است با ∫0ρ3M0ρ′a2 2πρ′ dρ′=2πM0ρ3a2\displaystyle\int_0^{\rho}\frac{3M_0\rho'}{a^{2}}\,2\pi\rho'\,d\rho'=\frac{2\pi M_0\rho^{3}}{a^{2}}، پس Bφ⋅2πρ=μ0⋅2πM0ρ3a2B_\varphi\cdot2\pi\rho=\mu_0\cdot\dfrac{2\pi M_0\rho^{3}}{a^{2}} می‌دهد Bφ=μ0M0ρ2/a2B_\varphi=\mu_0M_0\rho^{2}/a^{2} — همان نتیجه. روی سطح Kb=M×ρ^=−M0z^\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{\boldsymbol{\rho}}=-M_0\hat{\mathbf{z}} است، با مجموع −2πaM0-2\pi aM_0، که دقیقاً مجموع حجمی +2πaM0+2\pi aM_0 را خنثی می‌کند: جریان محصور خالص برای ρ>a\rho>a صفر است و در خارج B=0\mathbf{B}=0.

اگر ناحیهٔ مغناطیده یک لولهٔ توخالی b<ρ<ab<\rho<a بود، سطح داخلی (با بردار عمودِ رو به بیرون −ρ^-\hat{\boldsymbol{\rho}}) جریان Kb=+Mφ(b)z^\mathbf{K}_b=+M_\varphi(b)\hat{\mathbf{z}} مخصوص به خود را حمل می‌کرد، که باید در جریان محصور منظور شود؛ راهِ H\mathbf{H} همچنان بی‌درنگ B=μ0M\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{M} را می‌دهد.

۴.۳ پتانسیل اسکالر در یک تیغه با تراوایی متغیر

یک تیغهٔ بدون جریان 0≤x≤10\le x\le1 متر دارای μ(x)=μ0(1+x)2\mu(x)=\mu_0(1+x)^{2} است. وجه‌های آن هم‌پتانسیل مغناطیسی‌اند با Vm(0)=6V_m(0)=6 آمپر و Vm(1)=0V_m(1)=0. H\mathbf{H} را بیابید.

BxB_x ثابت است، پس Hx=C(1+x)2H_x=\dfrac{C}{(1+x)^{2}}. آنگاه

Vm(0)−Vm(1)=∫01C dx(1+x)2=C[−11+x]01=C2=6 ⇒ C=12.V_m(0)-V_m(1)=\int_0^{1}\frac{C\,dx}{(1+x)^{2}}=C\left[-\frac{1}{1+x}\right]_0^{1}=\frac{C}{2}=6\ \Rightarrow\ C=12.

پس H=12(1+x)2x^\mathbf{H}=\dfrac{12}{(1+x)^{2}}\hat{\mathbf{x}} آمپر بر متر است، با جهتی از وجهِ پتانسیل‌بالا به سمت وجهِ پتانسیل‌پایین، و Bx=12μ0B_x=12\mu_0 یکنواخت است. اگر به‌جای آن معادلهٔ لاپلاس حل می‌شد، میدان یکنواخت Hx=6H_x=6 آمپر بر متر به دست می‌آمد که در اینجا ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B}=0 را نقض می‌کند.

۴.۴ اندوکتانس متقابل و نیرو: سیم بلند و مستطیل هم‌صفحه

یک حلقهٔ مستطیلی با اضلاع h=10h=10 سانتی‌متر (موازی با یک سیم مستقیم بلند) و w=6w=6 سانتی‌متر در صفحهٔ سیم قرار دارد و ضلع نزدیک آن در فاصلهٔ d=2d=2 سانتی‌متر است. سیم را با I2I_2 تحریک کنید (میدان آن معلوم است): شار گذرنده از حلقه برابر است با

Φ=∫dd+wμ0I22πx h dx=μ0I2h2πln⁡d+wd ⇒ M=μ0h2πln⁡d+wd=2×10−8ln⁡4≈27.7 nH.\Phi=\int_{d}^{d+w}\frac{\mu_0I_2}{2\pi x}\,h\,dx=\frac{\mu_0I_2h}{2\pi}\ln\frac{d+w}{d}\ \Rightarrow\ M=\frac{\mu_0h}{2\pi}\ln\frac{d+w}{d}=2\times10^{-8}\ln4\approx27.7\ \text{nH}.

نیرو با I2=50I_2=50 آمپر در سیم و I1=4I_1=4 آمپر در حلقه، در حالی که جریانِ ضلع نزدیک موازی با جریان سیم است. فقط دو ضلعِ موازی با سیم در ∮dy/x\oint dy/x سهم دارند:

F=μ0I1I22π(hd−hd+w)=4×10−5(5−1.25)=1.5×10−4 N,F=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi}\left(\frac{h}{d}-\frac{h}{d+w}\right)=4\times10^{-5}\left(5-1.25\right)=1.5\times10^{-4}\ \text{N},

به سمت سیم (ضلع نزدیک‌تر و هم‌جهت غالب است). نیروهای وارد بر دو ضلع عمود، مساوی و مخالف یکدیگرند. آزمون صحت با F=I1I2 dMddF=I_1I_2\,\dfrac{dM}{dd}: dMdd=μ0h2π(1d+w−1d)=−7.5×10−7\dfrac{dM}{dd}=\dfrac{\mu_0h}{2\pi}\left(\dfrac{1}{d+w}-\dfrac{1}{d}\right)=-7.5\times10^{-7} هانری بر متر، که ضرب در I1I2=200I_1I_2=200 A2^{2} می‌دهد −1.5×10−4-1.5\times10^{-4} نیوتن، یعنی به سمت کاهش dd.

۴.۵ انرژی با تراوایی متغیر

یک خط هم‌محور (شعاع داخلی aa، شعاع خارجی bb، جریان II رفت و برگشت) با ماده‌ای با μ(ρ)=μ0 ρ/a\mu(\rho)=\mu_0\,\rho/a پر شده است. در اینجا H\mathbf{H} سمتی است، بر سطوح μ\mu ثابت مماس است، و جریان آزاد آن را تعیین می‌کند: Hφ=I2πρH_\varphi=\dfrac{I}{2\pi\rho}، مستقل از مادهٔ پرکننده. انرژی بر واحد طول برابر است با

W′=∫ab12 μ0ρa(I2πρ)22πρ dρ=μ0I24πa∫abdρ=μ0I2(b−a)4πa,W'=\int_a^{b}\tfrac12\,\mu_0\frac{\rho}{a}\left(\frac{I}{2\pi\rho}\right)^{2}2\pi\rho\,d\rho=\frac{\mu_0I^{2}}{4\pi a}\int_a^{b}d\rho=\frac{\mu_0I^{2}(b-a)}{4\pi a},

پس L′=2W′I2=μ0(b−a)2πaL'=\dfrac{2W'}{I^{2}}=\dfrac{\mu_0(b-a)}{2\pi a}. (با μ0\mu_0 یکنواخت، همین انتگرال مقدار آشنای μ02πln⁡ba\dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a} را می‌دهد.) همین دستور کار برای سیملولهٔ صفحه‌جریانی با هسته‌ای که تراوایی‌اش به‌صورت شعاعی تغییر می‌کند نیز به کار می‌رود: H=KH=K در داخل یکنواخت است، و W′=∫0a12μ(r)K2 2πr drW'=\displaystyle\int_0^{a}\tfrac12\mu(r)K^{2}\,2\pi r\,dr.

۴.۶ بارِ منحرف‌نشده بین صفحه‌های باردارِ حامل جریان

دو صفحهٔ موازی بارهای سطحی ±σ\pm\sigma و جریان‌های سطحی ±Kz^\pm K\hat{\mathbf{z}} دارند (صفحهٔ +σ+\sigma در y=0y=0 جریان +Kz^+K\hat{\mathbf{z}} را حمل می‌کند). بین آن‌ها E=σε0y^\mathbf{E}=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\hat{\mathbf{y}} است و، با جمع دو نیم‌سهم، B=−μ0K x^\mathbf{B}=-\mu_0K\,\hat{\mathbf{x}}. برای باری که با v=vz^\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{z}} حرکت می‌کند،

v×B=−μ0Kv (z^×x^)=−μ0Kv y^,\mathbf{v}\times\mathbf{B}=-\mu_0Kv\,(\hat{\mathbf{z}}\times\hat{\mathbf{x}})=-\mu_0Kv\,\hat{\mathbf{y}},

که مخالف E\mathbf{E} است، پس نیرو زمانی صفر می‌شود که

v=EB=σμ0ε0K=σc2K.v=\frac{E}{B}=\frac{\sigma}{\mu_0\varepsilon_0K}=\frac{\sigma c^{2}}{K}.

با σ=8.85\sigma=8.85 nC/m2^{2} (E=1000E=1000 ولت بر متر) و K=100K=100 آمپر بر متر (B=1.257×10−4B=1.257\times10^{-4} تسلا)، v≈7.96×106v\approx7.96\times10^{6} متر بر ثانیه به دست می‌آید، برای هر qq و mm.

۵. حالت‌های رایج و موارد خاص

  • برهم‌نهی حلقه‌ها. حلقه‌های هم‌مرکزِ هم‌صفحه میدان‌های مرکزی μ0I/2ak\mu_0 I/2a_k خود را به‌صورت جبری جمع می‌کنند؛ شعاع‌های هندسی یک سری هندسی می‌دهند که با افزایش تعداد حلقه‌ها به حد اشباع می‌رسد (درونی‌ترین حلقه، با کوچک‌ترین شعاع، غالب است).
  • محیط‌های لایه‌ای / قطاعی پیرامون یک سیم. در قطاع‌های زاویه‌ای که محور zz در آن‌ها مشترک است، میدان سمتی بر صفحه‌های جداکننده عمود است، پس BφB_\varphi (نه HφH_\varphi) پیوسته است؛ آنگاه قانون آمپر به شکل ∮H⋅dℓ=Bφ r∑iΔφiμi=I\oint\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=B_\varphi\,r\sum_i\dfrac{\Delta\varphi_i}{\mu_i}=I درمی‌آید، یعنی یک میانگین معکوس (همساز) از تراوایی‌ها. در مقابل، لایه‌بندی شعاعی میدان را مماسی می‌کند، پس HH مشترک است.
  • دیامغناطیس در برابر پارامغناطیس. χm<0\chi_m<0 (دیامغناطیس) با میدان اعمال‌شده مخالفت می‌کند؛ χm>0\chi_m>0 (پارامغناطیس) آن را تقویت می‌کند؛ χm\chi_m حتی ممکن است با مکان تغییر کند، پس جریان‌های سطحی مقید با χm\chi_m محلی در هر وجه محاسبه می‌شوند.
  • میلهٔ بلند با مغناطش یکنواخت. M=M0z^\mathbf{M}=M_0\hat{\mathbf{z}} در یک استوانهٔ بی‌نهایت بلند دارای Jb=0\mathbf{J}_b=0 و Kb=M0φ^\mathbf{K}_b=M_0\hat{\boldsymbol{\varphi}} است — یک سیملوله با nI=M0nI=M_0 — پس B=μ0M\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{M} در داخل، 00 در خارج، و باز هم H=0\mathbf{H}=0.
  • وقتی بدون جریان آزاد H≠0\mathbf{H}\ne0 است. گزارهٔ «جریان آزاد وجود ندارد ⇒H=0\Rightarrow\mathbf{H}=0» به تقارن نیاز دارد. در حالت کلی ∇⋅H=−∇⋅M\nabla\cdot\mathbf{H}=-\nabla\cdot\mathbf{M} است، پس یک آهنربای میله‌ای متناهی (که در آن M\mathbf{M} روی وجه‌های قطب پایان می‌یابد) دارای H\mathbf{H} غیرصفر و مغناطیس‌زداست.
  • نیروی بین سیم‌های موازی. دو سیم بی‌نهایت به فاصلهٔ dd از یکدیگر نیروی F/ℓ=μ0I1I22πdF/\ell=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} را بر هم وارد می‌کنند — جاذبه برای جریان‌های هم‌جهت و دافعه برای جریان‌های ناهم‌جهت.
  • بار خطی به‌همراه جریان خطی. سیمی با چگالی بار λ\lambda و جریان II دارای E=λ2πε0rE=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r} و B=μ0I2πrB=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r} است، که هر دو ∝1/r\propto1/r هستند؛ باری که موازی با جریان حرکت می‌کند در v=E/B=λμ0ε0I=λc2Iv=E/B=\dfrac{\lambda}{\mu_0\varepsilon_0I}=\dfrac{\lambda c^{2}}{I} در هر فاصله‌ای بدون نیرو است.
  • نمونه‌های مرجع اندوکتانس خودی. سیملوله L=μ0n2VL=\mu_0 n^{2} V؛ چنبره L=μ0N2h2πln⁡baL=\dfrac{\mu_0 N^{2} h}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a}؛ کابل هم‌محور (داخلی + خارجی) L′=μ08π+μ02πln⁡baL'=\dfrac{\mu_0}{8\pi}+\dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac{b}{a} بر واحد طول.
  • نمونه‌های مرجع اندوکتانس متقابل. حلقه‌های هم‌محور به شعاع‌های aa و b≪ab\ll a به فاصلهٔ zz از یکدیگر: M=μ0πa2b22(a2+z2)3/2M=\dfrac{\mu_0\pi a^{2}b^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}} (میدان روی محورِ حلقهٔ بزرگ ضرب در مساحت کوچک؛ در حالت هم‌صفحه →μ0πb22a\to\dfrac{\mu_0\pi b^{2}}{2a} و در فاصلهٔ دور ∝z−3\propto z^{-3}). سیم‌پیچ کوچک با N2N_2 دور و مساحت AA درون یک سیملولهٔ بلند با nn دور بر متر: M=μ0nN2AM=\mu_0nN_2A. سیم بلند و مستطیل هم‌صفحه: M=μ0h2πln⁡d+wdM=\dfrac{\mu_0h}{2\pi}\ln\dfrac{d+w}{d}.
  • میدان دورِ دوقطبی مغناطیسی. یک حلقهٔ کوچک m=IA\mathbf{m}=I\mathbf{A} میدان B=μ04πr3(2mcos⁡θ r^+msin⁡θ θ^)\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi r^{3}}\left(2m\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}}+m\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\right) را تولید می‌کند — همتای مغناطیسیِ دوقطبی الکتریکی.

نکتهٔ کنکوری: هرگاه ماده در کار است، بگذارید H\mathbf{H} کار را انجام دهد. H\mathbf{H} فقط جریان آزاد را می‌بیند، پس (الف) جسم مغناطیده‌ای که جریان آزاد ندارد و تقارن کامل دارد بی‌درنگ H=0\mathbf{H}=0 و B=μ0M\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{M} را می‌دهد، و (ب) هسته‌ای با تراوایی متغیر درون سیملوله یا کابل هم‌محور H\mathbf{H} را دست‌نخورده می‌گذارد و فقط از طریق B=μH\mathbf{B}=\mu\mathbf{H} و w=12μH2w=\tfrac12\mu H^{2} وارد مسئله می‌شود. انرژی همواره نسبت به جریان منبع درجهٔ دوم است، و ضریب میدان سیم بی‌نهایت μ02π\dfrac{\mu_0}{2\pi} است، نه μ04π\dfrac{\mu_0}{4\pi}ِ بیو–ساوار — دو آزمونی که بیشتر گزینه‌های انحرافی را حذف می‌کنند.

تلهٔ رایج: در گذر از یک فصل مشترک، B\mathbf{B} عمودی و H\mathbf{H} مماسی پیوسته‌اند — هرگز هر دو مؤلفهٔ یک میدان. اینکه کدام‌یک به کار می‌آید را از هندسهٔ میدان نسبت به سطح تعیین کنید (میدانی که در امتداد مرز قرار دارد مماسی است؛ میدانی که از آن عبور می‌کند عمودی است). جابه‌جا گرفتن این دو — مثلاً پیوسته فرض کردن HH در جایی که میدان در واقع عمودی است — میانگین همساز را به میانگین حسابی تبدیل می‌کند و شما را به گزینهٔ انحرافیِ کلاسیک می‌رساند؛ شکل پیوستهٔ همین اشتباه، حل ∇2Vm=0\nabla^{2}V_m=0 در محیطی است که μ\mu آن در راستای میدان تغییر می‌کند. برای جریان‌های سطحی مقید Kb=M×n^\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{\mathbf{n}}، همیشه از بردار عمودِ رو به بیرونِ ماده استفاده کنید، ترتیب عوامل ضرب را حفظ کنید، و سطح داخلی یک جسم توخالی را فراموش نکنید — هر یک از این لغزش‌ها جریان محصور را تغییر می‌دهد. و در میدان غیریکنواخت، حلقهٔ بسته بدون نیرو نیست: میان‌بُر وتر فقط وقتی به کار می‌رود که B\mathbf{B} یکنواخت باشد.

فرمول‌های کلیدی

Biot–Savart law
B=μ0I4π∫dℓ′×R^R2\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{d\boldsymbol{\ell}'\times\hat{\mathbf{R}}}{R^{2}}
Infinite straight wire
B=μ0I2πrB=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}
Center of a circular loop
B=μ0I2aB=\frac{\mu_0 I}{2a}
On-axis field of a circular loop
B=μ0Ia22(a2+z2)3/2B=\frac{\mu_0 I a^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}
Ampère's law (free vs. bound current)
∮H⋅dℓ=Ifree,enc,∮B⋅dℓ=μ0(Ifree,enc+Ibound,enc)\oint \mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=I_{\text{free,enc}},\qquad \oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0\left(I_{\text{free,enc}}+I_{\text{bound,enc}}\right)
Force on a wire (uniform-field chord)
F=I∫dℓ×B=I Leff×B\mathbf{F}=I\int d\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{B}=I\,\mathbf{L}_{\text{eff}}\times\mathbf{B}
Linear medium
M=χmH,B=μ0μrH\mathbf{M}=\chi_m\mathbf{H},\qquad \mathbf{B}=\mu_0\mu_r\mathbf{H}
Bound currents
Jb=∇×M,Jms=M×n^\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M},\qquad \mathbf{J}_{ms}=\mathbf{M}\times\hat{\mathbf{n}}
Boundary conditions
Bn1=Bn2,n^×(H1−H2)=KB_{n1}=B_{n2},\qquad \hat{\mathbf{n}}\times(\mathbf{H}_1-\mathbf{H}_2)=\mathbf{K}
Inductance and stored energy
L=NΦI,W=12LI2=12μ∫VB2 dVL=\frac{N\Phi}{I},\qquad W=\tfrac12 L I^{2}=\frac{1}{2\mu}\int_V B^{2}\,dV
Sheet-current solenoid
H=K z^ (inside),H=0 (outside),K=nI\mathbf{H}=K\,\hat{\mathbf{z}}\ (\text{inside}),\qquad \mathbf{H}=0\ (\text{outside}),\qquad K=nI
Lorentz force on a charge
F=q(E+v×B)\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)
Undeflected (velocity-selector) speed
v=EBv=\frac{E}{B}
Net force on a planar loop beside a long wire
F=−x^ μ0I1I22π∮dyx\mathbf{F}=-\hat{\mathbf{x}}\,\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}\oint\frac{dy}{x}
General constitutive relation
B=μ0(H+M)\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})
Magnetic scalar potential
H=−∇Vm,∇⋅(μ ∇Vm)=0\mathbf{H}=-\nabla V_m,\qquad \nabla\cdot\left(\mu\,\nabla V_m\right)=0
1-D graded medium
Hx(x)=Bxμ(x),Bx=Vm(x1)−Vm(x2)∫x1x2dx/μ(x)H_x(x)=\frac{B_x}{\mu(x)},\qquad B_x=\frac{V_m(x_1)-V_m(x_2)}{\int_{x_1}^{x_2}dx/\mu(x)}
Mutual inductance
M=N2Φ21I1=μ04π∮C1∮C2dℓ1⋅dℓ2R,M12=M21M=\frac{N_2\Phi_{21}}{I_1}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C_1}\oint_{C_2}\frac{d\boldsymbol{\ell}_1\cdot d\boldsymbol{\ell}_2}{R},\qquad M_{12}=M_{21}
Coaxial loops, small loop of radius b
M=μ0πa2b22(a2+z2)3/2M=\frac{\mu_0\pi a^{2}b^{2}}{2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}
Magnetic energy density and energy
w=12B⋅H=12μH2=B22μ,W=12∫VB⋅H dVw=\tfrac12\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}=\tfrac12\mu H^{2}=\frac{B^{2}}{2\mu},\qquad W=\tfrac12\int_V\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\,dV
Energy of two coupled circuits
W=12L1I12+12L2I22+MI1I2W=\tfrac12L_1I_1^{2}+\tfrac12L_2I_2^{2}+MI_1I_2
#magnetostatics#biot-savart#amperes-law#lorentz-force#bound-current#magnetic-scalar-potential#mutual-inductance#magnetic-energy

کارت‌های مرتبط

مفهومماشین‌های الکتریکی ۱ و ۲
مدارهای مغناطیسی: رلوکتانس، شار، انرژی ذخیره‌شده و نیروی کشش

روش مدار مغناطیسی، شارِ رانده‌شده توسط نیروی محرکهٔ مغناطیسی سیم‌پیچ را در رلوکتانس مسیر فرومغناطیسی و فاصله‌های هوایی آن مدل می‌کند و از آن رلوکتانس‌ها، اندوکتانس‌ها ( L=N^2/R )، انرژی ذخیره‌شدهٔ قطعه‌به‌قطعه، شارِ تحمیل‌شده توسط منبع ولتاژ AC و — در سیستم‌های متحرک — نیروی کشش سطح قطب و گشتاور از روی هم‌انرژی به دست می‌آید.

magnetic-circuitreluctanceair-gapself-inductance

سوالات تمرینی · 8/27

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۱۱

ناحیه بین ۱ > z > ۱− از فضا از ماده‌ای با ضریب حساسیت مغناطیسی χ_m = z + (z^3)/3 پر شده است. میدان مغناطیسی یکنواخت B = B_0 x به ماده اعمال شده است. چگالی جریان مقید در صفحه z = −۱ برابر با کدام…

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۱۶

اگر میدان اعمالی به یک قاب نیم‌دایره‌ای، که جریان I را حمل می‌کند، مطابق شکل داده شده باشد، نیروی مغناطیسی وارد بر بخش نیم دایره‌ای برابر با کدام گزینه است؟ (میدان یکنواخت B=B_∘ y در راستای محور y…

الکترومغناطیسآسانمگنتواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۱۷

N حلقه دایروی با جریان I به‌طور هم سطح و هم مرکز هم کنار هم قرار گرفته‌اند. شعاع حلقه اول برابر با R، شعاع حلقه دوم ۲R و همین‌طور شعاع حلقه Nأم برابر ۲^(N-۱)R است. شدت میدان مغناطیسی در مرکز این…

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۱۱۸

جریان سیمی I بر روی محور z قرار دارد. اگر ضریب نفوذپذیری مغناطیسی نسبی چهار ربع فضا بهترتیب μr۱، ۲μr۱، ۳μr۱ و ۴μr۱ باشد، چگالی شار مغناطیسی در ربع (۱) برابر با کدام گزینه است؟

الکترومغناطیسآسانمگنتواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۱۱۰

دو حلقه سیمی دایروی هم‌مرکز و هم‌صفحه با شعاع‌های r_۱ و r_۲ در فضای آزاد در دست است. فرض کنید r_۱ ≪ r_۲ باشد. ضریب القای متقابل M برحسب هانری بین این دو حلقه کدام است؟

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۱۱۳

مطابق شکل زیر، دو حلقهٔ هادی مربع‌شکل به‌صورت هم‌مرکز در صفحهٔ xoy قرار دارند. طول ضلع حلقهٔ کوچک‌تر ۱m و حلقهٔ بزرگ‌تر ۲m است. مربع بزرگ‌تر اضلاعش موازی محورهای x و y است و جریان ۱ آمپر در آن در جهت…

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۱۱۵

شدت میدان مغناطیسی نامتغیر با زمان در مختصات استوانه‌ای به‌صورت H = e^(-ρ) φ داده شده است. چگالی جریان الکتریکی که این میدان مغناطیسی را ایجاد کرده است، کدام است؟

الکترومغناطیسمتوسطمگنتواستاتیککنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۱۱۱

حلقه‌ای دایره‌ای حامل جریان DC رشته‌ای I در صفحه xy واقع شده و مرکز آن منطبق بر مبدأ مختصات است. پتانسیل اسکالر مغناطیسی در نقطه P که دور از حلقه در روی محور z > ۰ قرار گرفته است، کدام است؟ (نقطه P…

همهٔ 27 سؤال →