سوال ۱۱۱ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

آماده‌سازی. درون یک مادهٔ مغناطیسی خطی، مغناطش از رابطهٔ $\vec{M} = \chi_m \vec{H}$ پیروی می‌کند و میدان یکنواخت اعمال‌شده متناظر با $\vec{H} = \dfrac{B_0}{\mu_0}\hat{x}$ است. بنابراین

$\vec{M} = \chi_m\,\frac{B_0}{\mu_0}\,\hat{x} = \left(z + \frac{z^3}{3}\right)\frac{B_0}{\mu_0}\,\hat{x}.$

محاسبهٔ $\chi_m$ روی سطح $z = -1$.

$\chi_m\big|_{z=-1} = (-1) + \frac{(-1)^3}{3} = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3}.$

پس مغناطش درست در زیر سطح برابر است با

$\vec{M}\big|_{z=-1} = -\frac{4}{3}\,\frac{B_0}{\mu_0}\,\hat{x}.$

جریان سطحی مقید. چگالی جریان سطحی مغناطش (مقید) عبارت است از

$\vec{J}_{ms} = \vec{M}\times\hat{n},$

که در آن $\hat{n}$ بردار یکهٔ نرمال روبه‌بیرونِ ماده است. ماده ناحیهٔ $-1 < z < 1$ را اشغال می‌کند، پس روی وجهِ $z = -1$ نرمال روبه‌بیرون در راستای $-z$ قرار دارد: $\hat{n} = -\hat{z}$. بنابراین

$\vec{J}_{ms} = \left(-\frac{4}{3}\frac{B_0}{\mu_0}\hat{x}\right)\times(-\hat{z}) = \frac{4}{3}\frac{B_0}{\mu_0}\,(\hat{x}\times\hat{z}).$

از آنجا که $\hat{x}\times\hat{z} = -\hat{y}$،

$\vec{J}_{ms} = -\frac{4}{3}\,\frac{B_0}{\mu_0}\,\hat{y}.$

این گزینهٔ ۴ است.

تلهٔ رایج: نرمالِ روبه‌بیرونِ ماده در آن وجه را به کار ببرید ($-\hat{z}$ در $z=-1$، نه $+\hat{z}$) و ترتیب $\vec{J}_{ms} = \vec{M}\times\hat{n}$ را حفظ کنید — جابه‌جا کردن هر یک از این دو، علامت را وارونه می‌کند و شما را به‌اشتباه به گزینهٔ ۲ می‌رساند.