جریان داخلی: افت‌های لوله، جریان کوئت و پروفیل‌های دولایه

۱. ایدهٔ اصلی — منظور از «جریان داخلی» چیست

یک جریان وقتی داخلی است که سیال کاملاً توسط دیواره‌های جامد محصور شده باشد (لوله، مجرا، حلقوی، کانال)، به‌گونه‌ای که اثرهای لزج رشدیافته از همهٔ دیواره‌ها سرانجام به هم می‌رسند و تمام سطح مقطع را پر می‌کنند. این همان تفاوت اساسی با جریان خارجی است: دیگر هیچ جریان آزادی باقی نمی‌ماند. پس از ادغام لایه‌های مرزی، پروفیل سرعت دیگر با $x$ تغییر نمی‌کند و جریان کاملاً توسعه‌یافته است. برای لولهٔ دایره‌ای مستقیم با دیواره‌های ثابت و تحریک فشاری:

$\frac{\partial u}{\partial x}=0,\qquad u=u(r)\ \text{only},\qquad \frac{dp}{dx}=\text{const}<0 .$

در جریان کاملاً توسعه‌یافته، افت فشار یک اثر برنولی نیست (پروفیل سرعت تغییر نمی‌کند، پس هیچ انرژی جنبشی‌ای تولید نمی‌شود)؛ بلکه اتلاف انرژی مکانیکی خالص به‌وسیلهٔ تنش برشی دیواره است. تعادل نیرو روی یک استوانهٔ سیال به طول $L$ و شعاع $R$ دقیقاً همین را می‌دهد:

$\Delta p\,\pi R^{2}=\tau_w\,(2\pi R L)\qquad\Longrightarrow\qquad \Delta p=\frac{2\tau_w L}{R}=\frac{4\tau_w L}{D}.$

بنابراین تمام تحلیل جریان در لوله به یک پرسش فرو می‌کاهد: تنش برشی دیواره $\tau_w$ چقدر است؟ پاسخ به‌صورت بی‌بعد در ضریب اصطکاک دارسی $f$ بسته‌بندی شده است.

رژیم‌ها. برای لولهٔ دایره‌ای، پارامتر تعیین‌کننده عدد رینولدز است:

$\mathrm{Re}_D=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{VD}{\nu},\qquad V=\frac{Q}{A}\ (\text{mean velocity}).$

طول ورودی (ناحیهٔ در حال توسعه، که در آن $f$ از مقدار کاملاً توسعه‌یافته بزرگ‌تر است):

$\frac{L_{e}}{D}\approx 0.05\,\mathrm{Re}_D\ \ (\text{laminar}),\qquad \frac{L_{e}}{D}\approx 1.359\,\mathrm{Re}_D^{1/4}\approx 10\!-\!40\ \ (\text{turbulent}).$

طول ورودی در جریان آشفته کوتاه است (چند ده برابر قطر)، و به همین دلیل در مسائل کنکوری تقریباً همیشه می‌توان یک لولهٔ آشفته را در سراسر طولش کاملاً توسعه‌یافته در نظر گرفت.

۲. فرمول‌های کلیدی

دارسی–وایسباخ (معادلهٔ اصلی برای افت‌های اصلی).

$h_{L,\text{major}}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},\qquad \Delta p_{\text{major}}=f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2}.$

تعریف ضریب اصطکاک (همین است که $f$ را جهان‌شمول می‌کند):

$f=\frac{8\tau_w}{\rho V^{2}}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \tau_w=\frac{f}{8}\,\rho V^{2},\qquad u_\tau=\sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}=V\sqrt{\frac{f}{8}} .$

مراقب ضریب اصطکاک فنینگ $C_f=\tau_w/\big(\tfrac12\rho V^{2}\big)$ باشید که در مهندسی شیمی به کار می‌رود: $f_{\text{Darcy}}=4\,C_f$. در جریان آرام: $f=64/\mathrm{Re}$ اما $C_f=16/\mathrm{Re}$.

لولهٔ دایره‌ای در جریان آرام (دقیق، از ناویه–استوکس). با انتگرال‌گیری از $\frac{\mu}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{du}{dr}\right)=\frac{dp}{dx}$ و شرط عدم لغزش در $r=R$:

$u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right),\qquad u_{\max}=2V,\qquad \tau_w=\frac{8\mu V}{D},$

$\boxed{\;Q=\frac{\pi D^{4}\,\Delta p}{128\,\mu L}\;}\qquad\text{(Hagen–Poiseuille)},\qquad f=\frac{64}{\mathrm{Re}_D}.$

وابستگی به $D^{4}$ پرکاربردترین نکته در مسائل کنکوری است: در $\Delta p$ ثابت، $Q\propto D^{4}/L$.

تعادل نیروی شعاعی، تنش برشی علامت‌دار و اندازهٔ آن را می‌دهد:

برش در مرکز صفر و در دیواره بیشینه است؛ عدم لغزش یعنی سرعت دیواره صفر است، نه تنش برشی دیواره. در دبی و گرانروی ثابت، قانون جریان آرام می‌دهد

همگن‌بودن به‌تنهایی جریان آرام نیوتنی را تضمین نمی‌کند.

ضریب اصطکاک در جریان آشفته. معادلهٔ کولبروک همان برازش ضمنی‌ای است که خودِ نمودار مودی است:

$\frac{1}{\sqrt{f}}=-2.0\,\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}+\frac{2.51}{\mathrm{Re}_D\sqrt{f}}\right).$

تقریب صریح (هالاند، با خطای حدود $\sim2\%$ — وقتی باید با دست به عدد برسید از آن استفاده کنید):

$\frac{1}{\sqrt{f}}=-1.8\,\log_{10}\!\left[\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}\right)^{1.11}+\frac{6.9}{\mathrm{Re}_D}\right].$

دو حد سودمند از کولبروک:

$\text{Smooth pipe }(\varepsilon\to0):\ \frac{1}{\sqrt f}=2.0\log_{10}\!\left(\mathrm{Re}_D\sqrt f\right)-0.8,\qquad f\approx\frac{0.316}{\mathrm{Re}_D^{1/4}}\ (\text{Blasius},\ \mathrm{Re}<10^{5}),$

$\text{Fully rough }(\mathrm{Re}\to\infty):\ \frac{1}{\sqrt f}=-2.0\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}\right)\ \Rightarrow\ f=f(\varepsilon/D)\ \text{only}.$

افت‌های موضعی (جزئی) — اتصالات، شیرها، زانوها، ورودی‌ها، خروجی‌ها و تغییرات ناگهانی سطح مقطع:

$h_{L,\text{minor}}=K_L\,\frac{V^{2}}{2g},\qquad L_{\text{equiv}}=\frac{K_L D}{f}.$

مقادیر متداول: ورودی تیزلبه $K_L\approx0.5$، ورودی خوش‌گِرد $\approx0.03$، خروجی مستغرق همیشه $K_L=1.0$ (تمام انرژی جنبشی تلف می‌شود)، زانوی صاف $90^\circ$ حدود $\approx0.3$، شیر کروی (باز) $\approx10$، شیر کشویی (باز) $\approx0.2$. انبساط ناگهانی نتیجهٔ دقیق دارد (بوردا–کارنو):

$K_L=\left(1-\frac{A_1}{A_2}\right)^{2}\quad(\text{based on }V_1).$

معادلهٔ انرژی گسترش‌یافته با پمپ و توربین — همان معادله‌ای که در عمل حل می‌کنید:

$\frac{p_1}{\rho g}+\alpha_1\frac{V_1^{2}}{2g}+z_1+h_{\text{pump}}=\frac{p_2}{\rho g}+\alpha_2\frac{V_2^{2}}{2g}+z_2+h_{\text{turb}}+h_L,$

$h_L=\underbrace{\sum_i f_i\frac{L_i}{D_i}\frac{V_i^{2}}{2g}}_{\text{major}}+\underbrace{\sum_j K_{L,j}\frac{V_j^{2}}{2g}}_{\text{minor}},\qquad \dot W_{\text{pump}}=\frac{\rho g Q\,h_{\text{pump}}}{\eta_{\text{pump}}}.$

ضریب تصحیح انرژی جنبشی برای جریان آرام (سهمی) برابر $\alpha=2$ و برای جریان آشفته $\alpha\approx1.05\approx1$ است.

مجاری غیردایره‌ای — هرجا $D$ آمده است آن را با قطر هیدرولیکی جایگزین کنید:

$D_h=\frac{4A_c}{P_{\text{wetted}}}\quad\left(\text{square side }a:\ D_h=a;\ \ \text{thin annulus }D_o-D_i:\ D_h=D_o-D_i\right).$

این تقریب برای جریان آشفته بسیار خوب است. برای جریان آرام از نظر کمّی شکست می‌خورد: $f=C/\mathrm{Re}_{D_h}$ با $C=64$ (دایره)، $56.9$ (مربع)، $96$ (صفحات موازی)، $62.2$ (مثلث متساوی‌الاضلاع).

جریان صفحه‌ای دولایه: تنش را برابر کنید، نه شیب‌ها را

جریان آرام، پایا، تراکم‌ناپذیر و کاملاً توسعه‌یافتهٔ دو مایع نیوتنی غیرقابل‌اختلاط را بین صفحات تخت در نظر بگیرید. فصل مشترک تمیز و تخت در $y=0$ است؛ مایع $A$ ناحیهٔ $-h_A\le y\le0$ و مایع $B$ ناحیهٔ $0\le y\le h_B$ را اشغال می‌کند. گرانروی‌ها ثابت و مثبت‌اند. گرادیان فشار در راستای جریان برای هر دو مشترک است؛ نیروی حجمی در راستای جریان وجود ندارد. قرار دهید $G=-dp/dx$. در هر لایه،

چهار ثابت را از عدم لغزش دیواره و پیوستگی سرعت و کشش مماسی تعیین کنید:

تمام مشتق‌ها بر حسب همان مختصات افزایشی $y$ هستند. شرط آخر نبود لغزش بین‌سطحی و نیروی مماسی سطحی تحمیلی، مانند تنش مارانگونی، را فرض می‌کند. تعادل تنش عمودی و شکل فصل مشترک شرایط جداگانه‌اند؛ جایگزین پیوستگی برش نمی‌شوند.

برای دیواره‌های ثابت، پاسخ را مستقیماً با تنش برشی مشترک فصل مشترک $\tau_0$ بنویسید:

مثبت‌بودن گرانروی‌ها دو شیب بین‌سطحی را هم‌علامت می‌کند و در حالت ناصفر $u_A^{\prime}(0)/u_B^{\prime}(0)=\mu_B/\mu_A$ است. تغییر اندازهٔ شیب مجاز است؛ پرش سرعت، تغییر علامت شیب یا صفر بودن شیب فقط در یک طرف مجاز نیست. برای $G>0$ هر دو قطعه تقعر رو به پایین دارند. با دیواره‌های ثابت، یک بیشینه در $y_*=\tau_0/G$ وجود دارد؛ اگر روی فصل مشترک باشد، هر دو شیب باید صفر شوند. دو برآمدگی با کمینهٔ بین‌سطحی یا بیشینهٔ تیز بین‌سطحی تحت این فرض‌ها ناممکن‌اند. داخل هر لایه تابع درجه‌دو هموار است؛ پس نقاط تیز دلخواه داخلی نیز ناممکن‌اند.

برای تحریک کوئت خالص، $\tau=(U_+-U_-)/(h_A/\mu_A+h_B/\mu_B)$ است: لایهٔ کم‌گرانروتر تغییر سرعت بیشتری در واحد ضخامت می‌پذیرد. گرانروی‌های برابر پروفیل هموار واحد را بازمی‌گردانند. انحنای پروفیل با گرانروی نسبت معکوس دارد. مدل نوسانی در مکانیک سیالات زیستی در جریان ضربانی شرح داده می‌شود؛ این پروفیل‌های پایا جایگزین آن نیستند.

۳. روش — چگونه مسائل لوله را حل کنیم

گام ۰ — دسته‌بندی مسئله. دقیقاً سه نوع وجود دارد:

گام ۱ — سرعت متوسط و عدد رینولدز. $V=Q/A$، $\mathrm{Re}_D=VD/\nu$. آرام یا آشفته بودن را پیش از هر کار دیگری تعیین کنید.

گام ۲ — ضریب اصطکاک.

• آرام: $f=64/\mathrm{Re}$ (زبری بی‌اثر است).
• آشفته: نمودار مودی را در $(\mathrm{Re},\ \varepsilon/D)$ بخوانید، یا هالاند/کولبروک را محاسبه کنید.

گام ۳ — جمع‌بندی افت هد. افت‌های اصلی هر قطعه را با $\sum K_L V^{2}/2g$ جمع کنید، هرکدام با سرعت موضعی خودش.

گام ۴ — معادلهٔ انرژی را بین دو نقطه‌ای بنویسید که بیشترین اطلاعات را دارید (دو سطح آزاد: $p=p_{\text{atm}}$، $V\approx0$؛ یا مخزن به جت: سرعت خروجی $V$ مجهول ولی $p$ معلوم است).

گام ۵ — حل کنید. برای نوع II/III تکرار کنید: $f\approx0.02$ را حدس بزنید (حدس اولیهٔ خوب و عمومی برای لوله‌های آب در جریان آشفته) $\to$ $V$ را بیابید $\to$ $\mathrm{Re}$ را بیابید $\to$ $f$ را به‌روز کنید. وابستگی به $f$ ضعیف است، اما تکرار را تا رسیدن به دقت لازم دبی/هد ادامه دهید.

گام ۶ — به آنچه خواسته شده تبدیل کنید: $\Delta p=\rho g h_L$ (لولهٔ افقی با $D$ ثابت)، توان پمپاژ $\dot W=\rho g Q h_L/\eta$.

شبکه‌ها.

• لوله‌های سری: دبی یکسان است و افت هدها جمع می‌شوند: $Q_1=Q_2$، $h_L=h_{L,1}+h_{L,2}$.
• لوله‌های موازی: افت هد در هر شاخه یکسان است و دبی‌ها جمع می‌شوند: $h_{L,1}=h_{L,2}$، $Q=Q_1+Q_2$. این همان قیاس هیدرولیکی مقاومت‌های الکتریکی است، با $h_L=RQ^{n}$ که $n=1$ برای آرام و $n\approx2$ برای آشفته است.

۴. مثال کوتاه حل‌شده

آب ($\rho=998\ \mathrm{kg/m^3}$، $\nu=1.0\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}$) با دبی $Q=0.020\ \mathrm{m^3/s}$ از یک لولهٔ افقی فولاد تجاری ($\varepsilon=0.26\ \mathrm{mm}$) با $D=0.10\ \mathrm{m}$ و $L=50\ \mathrm{m}$ عبور می‌کند که شامل یک ورودی تیزلبه ($K_L=0.5$)، دو زانوی $90^\circ$ (هرکدام $K_L=0.3$) و یک شیر کشویی باز ($K_L=0.2$) است. افت فشار و توان پمپ را با بازده $\eta=70\%$ بیابید.

۱) سرعت و عدد رینولدز.

$A=\frac{\pi D^{2}}{4}=7.854\times10^{-3}\ \mathrm{m^2},\qquad V=\frac{Q}{A}=2.55\ \mathrm{m/s},\qquad \mathrm{Re}_D=\frac{2.55(0.10)}{10^{-6}}=2.55\times10^{5}.$

آشفته است (و $L/D=500\gg L_e/D\approx31$، پس کاملاً توسعه‌یافته).

۲) ضریب اصطکاک. با $\varepsilon/D=0.0026$، رابطهٔ هالاند می‌دهد:

$\frac{1}{\sqrt f}=-1.8\log_{10}\!\left[(7.03\times10^{-4})^{1.11}+\frac{6.9}{2.55\times10^{5}}\right]=6.24\quad\Rightarrow\quad f\approx0.0257 .$

۳) هدها. هد سرعت برابر است با $V^{2}/2g=(2.55)^{2}/19.62=0.330\ \mathrm{m}$.

$h_{L,\text{major}}=f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g}=0.0257(500)(0.330)=4.25\ \mathrm{m},$

$\sum K_L=0.5+2(0.3)+0.2=1.3\ \Rightarrow\ h_{L,\text{minor}}=1.3(0.330)=0.43\ \mathrm{m},\qquad h_L=4.68\ \mathrm{m}.$

افت‌های موضعی اینجا تنها $9\%$ هستند — که برای یک لولهٔ بلند معمول است و دقیقاً به همین دلیل به آن‌ها موضعی/جزئی می‌گویند. (به‌طور معادل $L_{\text{equiv}}=\sum K_L D/f=5.1\ \mathrm{m}$، یعنی اتصالات «مانند» ۵ متر لولهٔ اضافی عمل می‌کنند.)

۴) افت فشار و توان.

$\Delta p=\rho g\,h_L=998(9.81)(4.68)\approx 45.8\ \mathrm{kPa},\qquad \dot W=\frac{\rho g Q h_L}{\eta}=\frac{9790(0.020)(4.68)}{0.70}\approx1.31\ \mathrm{kW}.$

بررسی ساختگی پروفیل دولایه

ضخامت هر دو لایهٔ بین دیواره‌های ثابت را $h$، گرانروی‌ها را $\mu_A=\mu$ و $\mu_B=2\mu$ و عامل محرک را $G>0$ بگیرید. شرایط فصل مشترک می‌دهند

شیب‌ها نابرابر ولی هر دو منفی‌اند و ضرب در گرانروی متناظر، تنش یکسان می‌دهد. بیشینه داخل مایع کم‌گرانروتر $A$ است و الزاماً روی فصل مشترک نیست. شیب مثبت پیشنهادی در طرف $B$ پیوستگی تنش را نقض می‌کند. همچنین $Gh$ واحد تنش و $Gh^2/\mu$ واحد سرعت دارد.

۵. حالت‌های خاص و گونه‌های دیگر

• قوانین مقیاس‌بندی. آرام: $h_L\propto \mu L V/D^{2}$، یعنی $\Delta p\propto Q$ (مقاومت خطی) و $Q\propto D^{4}$. آشفتهٔ کاملاً زبر با زبری نسبی ثابت: $f$ ثابت است، پس $h_L\propto L V^{2}/D\ \Rightarrow\ \Delta p\propto Q^{2}$ و $Q\propto D^{5/2}$. دانستن اینکه کدام توان برقرار است، بیشتر پرسش‌های «چند برابر می‌شود…» را بی‌درنگ حل می‌کند.
• جریان حلقوی بین دو استوانهٔ هم‌محور. جریان محوری ناشی از اختلاف فشار در فضای حلقوی دارای $D_h=D_o-D_i$ است (برای جریان آرام از مقاومت ویژهٔ هندسه استفاده کنید، نه ثابت لولهٔ دایره‌ای)؛ اما جریان کوئت دورانی (استوانهٔ داخلی دوّار، بیرونی ثابت) به‌جای آن $u_\theta=Ar+B/r$ دارد و میدان فشار آن کاملاً شعاعی است و از تعادل مرکزگرا $dp/dr=\rho u_\theta^{2}/r\ge0$ به دست می‌آید — پس فشار در دیوارهٔ بیرونی بیشینه است و به دلیل تقارن محوری $\partial p/\partial\theta=0$. گشتاور بر واحد طول روی استوانهٔ داخلی: $T=4\pi\mu\Omega R_i^{2}R_o^{2}/(R_o^{2}-R_i^{2})$.
• پروفیل سرعت در جریان آشفته. قانون توانی $u/u_{\max}=(1-r/R)^{1/n}$ با $n\approx7$ به $V/u_{\max}\approx0.82$ می‌انجامد (در برابر $0.5$ در جریان آرام) — پروفیل بسیار کندتر (مسطح‌تر) است، بنابراین انتقال اندازه‌حرکت و حرارت در هستهٔ جریان بسیار یکنواخت‌تر است.
• زبری فقط در جریان آشفته اهمیت دارد. برجستگی‌های زبری باید از زیرلایهٔ لزج ($\delta_v\approx5\nu/u_\tau$) بیرون بزنند تا احساس شوند. از این رو یک لولهٔ «زبر» در جریان آرام دقیقاً همان $f$ لولهٔ صاف را دارد.
• کهنگی لوله‌ها / رسوب‌گذاری باعث افزایش $\varepsilon$ و کاهش $D$ می‌شود؛ چون $h_L\propto D^{-5}$ در جریان آشفته با $Q$ ثابت و ضریب اصطکاک تقریباً ثابت برقرار است، کاهش اندکِ قطر برای ظرفیت انتقال فاجعه‌بار است.
• جریان‌های داخلی غیرنیوتنی، تراکم‌پذیر یا کانال باز روابط $f$ را با روابط خاص خود جایگزین می‌کنند ($\mathrm{Re}$ قانون-توانی، تحلیل خط فانو، معادلهٔ مانینگ) اما همان دفترداری $h_L$ را حفظ می‌کنند.
• چند هد سرعت ورودی/خروجی: وقتی قطر تغییر می‌کند، هر قطعه $V$ مخصوص خود را دارد؛ هرگز یک هد سرعت را برای قطرهای متفاوت تکرار نکنید.

تلهٔ رایج: سه دام بیشترین نمرهٔ ازدست‌رفته را رقم می‌زنند. (۱) ابتدا رژیم را بررسی کنید — قرار دادن $\mathrm{Re}=1500$ در کولبروک/مودی به‌جای $f=64/\mathrm{Re}$ خطای کلاسیک است، و در این حالت زبری باید کاملاً نادیده گرفته شود. (۲) دارسی در برابر فنینگ: مقدار جدولی در حدود $f=0.005$ ممکن است فنینگ را القا کند، اما تعریف را بررسی کنید؛ مقدار فنینگ را پیش از استفاده در $h_L=f(L/D)V^{2}/2g$ آن را در ۴ ضرب کنید. (۳) افت هد اتلاف است، نه تغییر فشار: در لولهٔ شیب‌دار یا با قطر متغیر $\Delta p\ne\rho g h_L$ — باید جمله‌های $z$ و $V^{2}/2g$ را در کل معادلهٔ انرژی حمل کنید، و افت خروجی مستغرق $K_L=1$ را که مبتدی‌ها فراموش می‌کنند به یاد داشته باشید.

نکتهٔ کنکوری: در فصل مشترک تمیز سیال، سرعت و برش را برابر کنید، نه شیب‌های مستقل از گرانروی را. عدم لغزش در دیواره به معنی صفر بودن برش نیست.