سوال ۱۲۷ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰ — از مدار زیر برای اندازه‌گیری سیگنال الکتروکاردیوگرام استفاده شده است.…

Question

از مدار زیر برای اندازه‌گیری سیگنال الکتروکاردیوگرام استفاده شده است. اگر محدودهٔ فرکانسی سیگنال ECG به صورت منحنی داده شده باشد، مقادیر $R$ و $C$ کدام است؟

مدار: سیگنال ECG ( $V_{i1}$ و $V_{i2}$ ) به تقویت‌کنندهٔ AD620 وارد می‌شود. خروجی آن از طریق خازن سری $1\,\mu\text{F}$ به ورودی مثبت یک آپ‌امپ می‌رسد و مقاومت $R$ این ورودی را به زمین وصل می‌کند. در شبکهٔ فیدبک، مقاومت ۱۵۰ کیلواهم موازی با خازن $C$ از خروجی $V_o$ به سمت ورودی منفی برگشته است؛ در همین سمت یک مقاومت ۴٫۷ کیلواهم به زمین و یک مقاومت ۳٫۵ کیلواهم قرار دارد.

منحنی: اندازهٔ $\left\lvert \dfrac{V_o}{V_i} \right\rvert$ بر حسب فرکانس (Hz) یک پاسخ میان‌گذر است که مقدار میان‌باند آن ۱۰ است و در فرکانس‌های ۰٫۱ و ۱۲۰ هرتز به ۷٫۰۷ می‌رسد.

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — ۱۶ کیلواهم، ۸٫۸ نانوفاراد

پاسخ تشریحی

ایده. منحنی یک پاسخ میان‌گذر است که دو نقطهٔ $-3\,\text{dB}$ آن ( $7.07 = 10/\sqrt{2}$ ) همان دو فرکانس گوشه هستند. هر گوشه را یک زوج RC مستقل تعیین می‌کند:

خازن سری $1\,\mu\text{F}$ همراه با $R$ به زمین یک بخش بالاگذر غیرفعال است که گوشهٔ پایینی $f_L$ را تعیین می‌کند؛
خازن $C$ که موازی با مقاومت فیدبک $150\,\text{k}\Omega$ قرار دارد بهره را در فرکانس‌های بالا افت می‌دهد و گوشهٔ بالایی $f_H$ را تعیین می‌کند.

برای یافتن $R$ و $C$ نیازی به سطح میان‌باند $10$ نیست.

گوشهٔ بالایی ( $C$ را مشخص می‌کند). امپدانس فیدبک برابر $150\,\text{k}\Omega \parallel \dfrac{1}{j\omega C}$ است، پس بهره از فرکانس زیر شروع به افت می‌کند:

f_H = \frac{1}{2\pi R_f C} \;\Rightarrow\; C = \frac{1}{2\pi R_f f_H} = \frac{1}{2\pi\,(150\times 10^{3})(120)} \approx 8.84\times 10^{-9}\,\text{F} \approx 8.8\,\text{nF}

بررسی مقدار دیگر: $C = 10\,\text{nF}$ مقدار $f_H = \dfrac{1}{2\pi\,(150\times 10^{3})(10^{-8})} \approx 106\,\text{Hz}$ را می‌دهد، نه $120\,\text{Hz}$ . پس $C = 8.8\,\text{nF}$ است و تنها گزینه‌های ۳ و ۴ باقی می‌مانند.

گوشهٔ پایینی ( $R$ را مشخص می‌کند). ورودی تقویت‌کنندهٔ عملیاتی جریانی نمی‌کشد، پس شبکهٔ کوپلاژ یک بالاگذر سادهٔ مرتبهٔ اول است:

\frac{V_+}{V_{\text{AD620}}} = \frac{j\omega R C_1}{1 + j\omega R C_1}, \qquad f_L = \frac{1}{2\pi R C_1} \;\Rightarrow\; R = \frac{1}{2\pi f_L C_1}

با $C_1 = 1\,\mu\text{F}$ و مقدار چاپ‌شدهٔ $f_L = 0.1\,\text{Hz}$ به‌دست می‌آید $R = \dfrac{1}{2\pi\,(0.1)(10^{-6})} \approx 1.59\times 10^{6}\,\Omega$ . ارقام پیشرو $1.59 \approx 1.6$ هستند که با $16$ در گزینه‌ها سازگار است، نه با $14$ ؛ توان ده چاپ‌شده در صورت سؤال ناسازگار است (تلهٔ زیر را ببینید). بنابراین $R \to 16\,\text{k}\Omega$ .

نتیجه. $R = 16\,\text{k}\Omega$ و $C = 8.8\,\text{nF}$ ، یعنی گزینهٔ ۳، که با کلید رسمی مطابقت دارد.

گزینه	$R$	$C$	دلیل نادرستی
۱	$14\,\text{k}\Omega$	$10\,\text{nF}$	هر دو مقدار نادرست‌اند: $f_H \approx 106\,\text{Hz}$
۲	$16\,\text{k}\Omega$	$10\,\text{nF}$	$C$ نادرست است: $f_H \approx 106\,\text{Hz}$ به‌جای $120\,\text{Hz}$
۳	$16\,\text{k}\Omega$	$8.8\,\text{nF}$	درست
۴	$14\,\text{k}\Omega$	$8.8\,\text{nF}$	$R$ نادرست است: ارقام پیشروِ $\dfrac{1}{2\pi f C}$ برابر $1.59$ است، نه $1.4$

تلهٔ رایج: اعداد چاپ‌شده از نظر مرتبهٔ بزرگی با هم سازگار نیستند. با $1\,\mu\text{F}$ ، مقدار $R = 16\,\text{k}\Omega$ نتیجه می‌دهد $f_L = \dfrac{1}{2\pi\,(16\times 10^{3})(10^{-6})} \approx 9.95\,\text{Hz}$ ، یعنی حدود $10\,\text{Hz}$ ، نه $0.1\,\text{Hz}$ ؛ گوشهٔ واقعی $0.1\,\text{Hz}$ به $R \approx 1.59\,\text{M}\Omega$ (یا خازن $100\,\mu\text{F}$ همراه با $16\,\text{k}\Omega$ ) نیاز دارد. در جلسهٔ آزمون وقت خود را صرف این موضوع نکنید: $C$ به‌تنهایی گزینه‌های ۱ و ۲ را حذف می‌کند و ارقام $1.59$ مقدار $16$ را بر $14$ ترجیح می‌دهند.

نکتهٔ کنکوری: در اتصال آبشاری یک بالاگذر کوپلاژ و یک پایین‌گذر با خازن فیدبک، هر گوشه را از حاصل‌ضرب RC خودش با $f = \dfrac{1}{2\pi RC}$ بخوانید؛ مقاومت‌های تعیین‌کنندهٔ بهره در آن دخالتی ندارند.

Accepted Answer

۱۶ کیلواهم، ۸٫۸ نانوفاراد

Answer

۱۴ کیلواهم، ۱۰ نانوفاراد

Answer

۱۶ کیلواهم، ۱۰ نانوفاراد

Answer

۱۴ کیلواهم، ۸٫۸ نانوفاراد

کارت‌های مرتبط