سوال ۸۶ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

اهمیت

۰/۵

به سیستم زیر، ورودی نیروی پلّه واحد $u(t)=۱\,\text{N}$ اعمال می‌شود. خروجی، میزان جابجایی جرم $M=۱\,\text{Kg}$ می‌باشد. جرم $M$ از یک طرف به فنری با ضریب سختی $K$ و از طرف دیگر به یک دمپر (میراگر) $D$ متصل است که هر دو به سقف ثابت وصل‌اند؛ لذا معادلهٔ حرکت به‌صورت $M\ddot{y}+D\dot{y}+Ky=u(t)$ است. با فرض $k=۱\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ ، مقدار $D$ چقدر باشد تا حداکثر فاصلهٔ جرم $M$ از نقطه سکون اولیه تقریباً برابر با $۱۰۵\,\text{cm}$ باشد؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ D — ۱/۴

پاسخ تشریحی

مدل‌سازی سیستم

سیستم مکانیکی از رابطهٔ زیر پیروی می‌کند

M\ddot{y} + D\dot{y} + Ky = u(t).

با $M = 1\,\text{kg}$ و $K = 1\,\tfrac{\text{N}}{\text{m}}$ ، تابع تبدیل برابر است با

\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^{2} + D\,s + 1}.

با مقایسه با فرم استاندارد مرتبهٔ دوم $\dfrac{\omega_n^{2}}{s^{2} + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^{2}}$ :

\omega_n^{2} = \frac{K}{M} = 1 \;\Rightarrow\; \omega_n = 1, \qquad 2\zeta\omega_n = D \;\Rightarrow\; \zeta = \frac{D}{2}.

جابه‌جایی حالت ماندگار

برای نیروی پلهٔ واحد، جابه‌جایی نهایی برابر است با

y_{ss} = \lim_{s\to 0}\frac{1}{s^{2}+Ds+1} = \frac{1}{K} = 1\,\text{m} = 100\,\text{cm}.

بیشینهٔ جابه‌جایی = فراجهش

بیشترین فاصله از نقطهٔ سکون اولیه، همان قلهٔ پاسخ پله است:

y_{\max} = y_{ss}\,(1 + M_p),\qquad M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}.

نیاز داریم که $y_{\max} \approx 105\,\text{cm}$ باشد، یعنی

1.05 = 1\cdot(1 + M_p) \;\Rightarrow\; M_p = 0.05 \;(5\%).

حل برای نسبت میرایی

e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}} = 0.05 \;\Rightarrow\; \frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} = -\ln 0.05 = 2.996.

سپس

\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} = \frac{2.996}{\pi} = 0.9536 \;\Rightarrow\; \frac{\zeta^{2}}{1-\zeta^{2}} = 0.9094.

با حل کردن، $\zeta^{2} = \dfrac{0.9094}{1.9094} = 0.476 \Rightarrow \zeta \approx 0.69.$

بازگشت به $D$

D = 2\zeta \approx 2(0.69) = 1.38 \approx 1.4.

پاسخ گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: «بیشترین فاصله از سکون» همان فراجهش قله است، نه حالت ماندگار. از آنجا که در اینجا $y_{ss} = u/K = 1\,\text{m}$ است، قلهٔ $105\,\text{cm}$ دقیقاً معادل $M_p = 5\%$ است که نسبت میرایی متناظر آن در کتاب‌های مرجع $\zeta \approx 0.69$ است — به خاطر سپردن جفت‌های $M_p \leftrightarrow \zeta$ (یعنی $5\%\to0.69$ ، $16\%\to0.5$ ) این مسئله را به یک مسئلهٔ یک‌خطی تبدیل می‌کند.

#second-order-system#step-response#percent-overshoot#damping-ratio#mass-spring-damper

کارت‌های مرتبط

مفهومسیستم‌های کنترل خطی

پاسخ زمانی: مشخصات سیستم مرتبهٔ دوم، صفرها، خطای حالت ماندگار و نوع سیستم

این‌که نسبت میرایی و فرکانس طبیعی یک سیستم مرتبهٔ دوم چگونه مشخصات گذرای پاسخ پلهٔ آن (فراجهش، زمان اوج، زمان خیز و زمان نشست) را تعیین می‌کنند، صفرها و ورودی‌های شکل‌داده‌شده چگونه آن‌ها را تغییر می‌دهند، و تعداد انتگرال‌گیرهای حلقه چگونه خطای حالت ماندگار را برای ورودی مرجع و اغتشاش مشخص می‌کند.

second-order-systemdamping-ratiopercent-overshootsettling-time