سوال ۸۷ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

گشتاورهای پاسخ ضربه از طریق تابع تبدیل

پاسخ ضربه و تابع تبدیل یک زوج لاپلاس تشکیل می‌دهند: $G(s) = \int_0^\infty g(\tau)\, e^{-s\tau}\, d\tau.$

مشتق‌گیری زیر انتگرال به تعداد $n$ بار نسبت به $s$، عامل $(-\tau)^n$ را بیرون می‌کشد، پس $G^{(n)}(s) = \int_0^\infty (-\tau)^n\, g(\tau)\, e^{-s\tau}\, d\tau \quad\Rightarrow\quad \int_0^\infty \tau^n g(\tau)\, d\tau = (-1)^n\, G^{(n)}(0).$

بنابراین $I_1 = \int_0^\infty g(\tau)\, d\tau = G(0), \qquad I_2 = \int_0^\infty \tau^2 g(\tau)\, d\tau = G''(0),$ و پاسخی که به دنبال آن هستیم عبارت است از $\frac{I_2}{I_1} = \frac{G''(0)}{G(0)}.$

میان‌بُر مشتق لگاریتمی

می‌نویسیم $\ln G(s) = \ln K - \ln(1+T_1 s) - \ln(1+T_2 s)$ و قرار می‌دهیم $f(s) = \dfrac{G'(s)}{G(s)}$: $f(s) = -\frac{T_1}{1+T_1 s} - \frac{T_2}{1+T_2 s}, \qquad f(0) = -(T_1 + T_2).$

از آنجا که $f = G'/G$، مشتق‌گیری می‌دهد $f' = \dfrac{G''}{G} - \left(\dfrac{G'}{G}\right)^2$، از این‌رو $\frac{G''}{G} = f'(s) + f(s)^2.$

با $f'(s) = \frac{T_1^2}{(1+T_1 s)^2} + \frac{T_2^2}{(1+T_2 s)^2}, \qquad f'(0) = T_1^2 + T_2^2,$ در $s = 0$ مقدارگذاری می‌کنیم: $\frac{I_2}{I_1} = \frac{G''(0)}{G(0)} = f'(0) + f(0)^2 = \left(T_1^2 + T_2^2\right) + \left(T_1 + T_2\right)^2.$

ساده‌سازی

$\left(T_1 + T_2\right)^2 = T_1^2 + 2T_1 T_2 + T_2^2,$ پس $\frac{I_2}{I_1} = T_1^2 + T_2^2 + T_1^2 + 2T_1 T_2 + T_2^2 = 2T_1^2 + 2T_2^2 + 2T_1 T_2 = 2\left(T_1^2 + T_2^2 + T_1 T_2\right).$

این گزینهٔ ۱ است.

نکتهٔ کنکوری: برای هر پاسخ ضربه، $\int_0^\infty \tau^n g(\tau)\,d\tau = (-1)^n G^{(n)}(0)$. بهرهٔ $K$ در نسبت $I_2/I_1$ حذف می‌شود، پس پاسخ تنها به قطب‌های $-1/T_1,\,-1/T_2$ بستگی دارد. ترفند مشتق لگاریتمی $\,G''/G = f' + f^2\,$ از مشتق‌گیری مستقیم و دوباره‌ی خارج‌قسمت بهتر عمل می‌کند.