پاسخ زمانی: مشخصات سیستم مرتبهٔ دوم، صفرها، خطای حالت ماندگار و نوع سیستم

این‌که نسبت میرایی و فرکانس طبیعی یک سیستم مرتبهٔ دوم چگونه مشخصات گذرای پاسخ پلهٔ آن (فراجهش، زمان اوج، زمان خیز و زمان نشست) را تعیین می‌کنند، صفرها و ورودی‌های شکل‌داده‌شده چگونه آن‌ها را تغییر می‌دهند، و تعداد انتگرال‌گیرهای حلقه چگونه خطای حالت ماندگار را برای ورودی مرجع و اغتشاش مشخص می‌کند.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی برق

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی

بخش بسیار بزرگی از مسائل کنترل، به‌طور دقیق یا تقریبی، به سیستم مرتبهٔ دوم استاندارد کاهش می‌یابند:

G(s)=\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}},

که تنها با دو عدد تعریف می‌شود: فرکانس طبیعی نامیرا $\omega_n>0$ و نسبت میرایی $\zeta\ge 0$ . این فرم بهرهٔ DC واحد دارد، $G(0)=1$ ؛ هر سیستم فیزیکی به‌صورت $\dfrac{K\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}$ فقط کل پاسخ را در $K$ ضرب می‌کند. قدرت این مدل در آن است که شکل پاسخ گذرا — این‌که با چه سرعتی بالا می‌رود، چقدر فراجهش دارد و چه مدت نوسان می‌کند — کاملاً با $\zeta$ و $\omega_n$ تعیین می‌شود؛ بنابراین می‌توان یک مشخصهٔ حوزهٔ زمان را مستقیماً به مکان موردنیاز قطب‌ها ترجمه کرد و برعکس.

قطب‌های حلقه‌بسته ریشه‌های $s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}=0$ هستند:

s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^{2}-1}.

در حالت زیرمیرا $0<\zeta<1$ این قطب‌ها یک زوج مزدوج مختلط تشکیل می‌دهند:

s_{1,2}=-\sigma\pm j\omega_d,\qquad \sigma=\zeta\omega_n,\qquad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}},

که در آن $\sigma$ (نرخ میرایی، یعنی فاصله از محور موهومی) سرعت از بین رفتن پوش $e^{-\sigma t}$ را تعیین می‌کند و $\omega_d$ (فرکانس طبیعی میرا) فرکانس نوسان است. از دید هندسی، هر قطب روی دایره‌ای به شعاع $\omega_n$ و با زاویهٔ $\theta$ نسبت به محور حقیقی منفی قرار دارد، به‌طوری‌که

\zeta=\cos\theta.

پس خطوط $\zeta$ ثابت نیم‌خط‌هایی گذرنده از مبدأ و منحنی‌های $\omega_n$ ثابت کمان‌هایی از دایره هستند؛ این تصویر پل ارتباطی میان صفحهٔ s و همهٔ مشخصات حوزهٔ زمانِ زیر است.

یک پاسخ کامل به مسئلهٔ پاسخ زمانی همیشه دو نیمهٔ مستقل دارد: حالت گذرا (بخش‌های ۲ تا ۸، که قطب‌ها و صفرهای حلقه‌بسته بر آن حاکم‌اند) و حالت ماندگار (بخش ۹، که تعداد انتگرال‌گیرهای حلقه — یعنی نوع سیستم — بر آن حاکم است).

۲. حالت‌های میرایی

$\zeta$	قطب‌ها	پاسخ پله
$\zeta=0$	$\pm j\omega_n$ (روی محور موهومی)	نامیرا، نوسان پایدار با فرکانس $\omega_n$
$0<\zeta<1$	زوج مختلط $-\sigma\pm j\omega_d$	زیرمیرا — فراجهش دارد و سپس نوسان‌کنان میرا می‌شود
$\zeta=1$	قطب حقیقی مضاعف $-\omega_n$	میرای بحرانی — سریع‌ترین پاسخ بدون فراجهش
$\zeta>1$	دو قطب حقیقی متمایز	فوق‌میرا — کُند، بدون فراجهش

برای $\zeta\ge 1$ فراجهشی وجود ندارد و مفاهیم اوج و فرکانس میرا معنا ندارند؛ پاسخ مجموع چند نمایی میراشونده است که به‌طور یکنوا از پایین به مقدار نهایی نزدیک می‌شود و هرگز در زمان متناهی به آن نمی‌رسد. همهٔ مشخصات گذرای جالب در بازهٔ زیرمیرای $0<\zeta<1$ قرار دارند.

۳. فرمول‌های کلیدی (زیرمیرا، $0<\zeta<1$ )

برای ورودی پلهٔ واحد، پاسخ برابر است با

y(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\,\sin\!\big(\omega_d t+\phi\big),\qquad \phi=\arccos\zeta ,

یا به‌طور معادل $y(t)=1-e^{-\sigma t}\left(\cos\omega_d t+\dfrac{\sigma}{\omega_d}\sin\omega_d t\right)$ . مشتق آن پاسخ ضربه است:

h(t)=\dot y(t)=\frac{\omega_n^{2}}{\omega_d}\,e^{-\sigma t}\sin\omega_d t .

مشخصات استاندارد عملکرد از همین روابط به دست می‌آیند:

درصد فراجهش (ارتفاع اوج بالاتر از مقدار نهایی، مستقل از $\omega_n$ ):

M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \zeta=\frac{-\ln M_p}{\sqrt{\pi^{2}+\ln^{2}M_p}} .

زمان اوج (لحظهٔ نخستین بیشینه):

t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}} .

زمان نشست (پوش وارد نواری حول مقدار نهایی می‌شود و در آن می‌ماند):

t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}=\frac{4}{\sigma}\ (2\%),\qquad t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}\ (5\%).

زمان خیز (نخستین لحظه‌ای که پاسخ به $100\%$ مقدار نهایی می‌رسد — برای حالت زیرمیرا دقیق است):

t_r=\frac{\pi-\phi}{\omega_d},\qquad \phi=\arccos\zeta,

به‌همراه تخمین مهندسی تقریبی $t_r\approx \dfrac{1.8}{\omega_n}$ برای زمان خیز $10$ – $90\%$ در حوالی $\zeta\approx0.5$ (مقدار $0$ – $100\%$ حاصل از فرمول بالا بزرگ‌تر است: $2.42/\omega_n$ در $\zeta=0.5$ ).

چند زوج $M_p\leftrightarrow\zeta$ ارزش حفظ‌کردن دارند، زیرا وارون‌کردن دستی فرمول فراجهش وقت‌گیر است:

$\zeta$	$0.1$	$0.3$	$0.5$	$0.6$	$0.69$	$0.7$
$M_p$	$73\%$	$37\%$	$16\%$	$9.5\%$	$5\%$	$4.6\%$

۳.۱ همهٔ اکسترمم‌ها، نه فقط اولی

چون $\dot y(t)\propto e^{-\sigma t}\sin\omega_d t$ ، پاسخ پله در هر مضرب نیم‌دوره ایستا است:

t_k=\frac{k\pi}{\omega_d},\qquad y(t_k)=1-(-1)^{k}\,e^{-k\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}=1-(-1)^{k}M_p^{\,k},\qquad k=1,2,3,\dots

$k$ های فرد فراجهش (بیشینه) و $k$ های زوج فروجهش (کمینه) هستند. در نتیجه فراجهش $n$ اُم برابر $M_p^{\,2n-1}$ است و

\frac{\text{1st overshoot}}{\text{$n$-th overshoot}}=\exp\!\left(\frac{2\pi(n-1)\,\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\right),\qquad \frac{\text{overshoot }n+1}{\text{overshoot }n}=e^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}=M_p^{2}.

نمای $\delta=\dfrac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}$ همان کاهش لگاریتمی است. همهٔ این نسبت‌ها فقط به $\zeta$ بستگی دارند. مثال: $\zeta=0.5$ نتیجه می‌دهد $M_p=0.163$ ، نخستین فروجهش $M_p^{2}=0.027$ پایین‌تر از مقدار نهایی، و دومین فراجهش $M_p^{3}=0.0043$ .

۳.۲ $\omega_n$ صرفاً یک مقیاس زمانی است

با تقسیم صورت و مخرج بر $\omega_n^{2}$ ،

G(s)=\frac{1}{\left(\dfrac{s}{\omega_n}\right)^{2}+2\zeta\left(\dfrac{s}{\omega_n}\right)+1},

پس $G$ تنها از طریق $s/\omega_n$ به $s$ وابسته است. بنا بر خاصیت مقیاس‌بندی تبدیل لاپلاس، پاسخ پله به شکل زیر است:

y(t)=f(\omega_n t;\ \zeta).

تغییر $\omega_n$ فقط محور زمان را کشیده یا فشرده می‌کند؛ شکل پاسخ را $\zeta$ تعیین می‌کند. دو قاعده از این‌جا نتیجه می‌شود که برای هر تعریفی از شاخص‌ها (زمان خیز ۱۰–۹۰٪ یا ۰–۱۰۰٪، نوار ۲٪ یا ۵٪، زمان تأخیر و …) و برای هر حالت میرایی برقرارند:

هر شاخص زمانی برابر $\dfrac{\tau^{*}(\zeta)}{\omega_n}$ است — یعنی در $\zeta$ ثابت با $\omega_n$ نسبت عکس دارد؛
هر شاخص دامنه‌ای (فراجهش، فروجهش، نسبت اوج‌های متوالی) فقط به $\zeta$ بستگی دارد.

۳.۳ فرمول زمان نشست از کجا می‌آید — و کجا از کار می‌افتد

پاسخ میان دو پوش $1\pm\dfrac{e^{-\sigma t}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}$ قرار دارد. اگر بخواهیم پوش برابر نوار $\Delta$ شود، داریم

t_s\approx\frac{1}{\sigma}\ln\frac{1}{\Delta\sqrt{1-\zeta^{2}}}\approx\frac{\ln(1/\Delta)}{\zeta\omega_n},\qquad \ln 50\approx 3.9\to 4\ (2\%),\qquad \ln 20\approx 3\ (5\%).

این تخمین برای میرایی کم بیشترین دقت را دارد ( $\zeta\to0$ ): $\sqrt{1-\zeta^{2}}\to1$ و نوسان‌های پرشمار و نزدیک‌به‌هم پوش را پر می‌کنند. (مثلاً برای $\zeta=0.1$ : زمان واقعی $2\%$ برابر $38.4/\omega_n$ است در برابر $4/\sigma=40/\omega_n$ .)
این تخمین برای میرایی زیاد محافظه‌کارانه است. همین‌که خودِ فراجهش از نوار کوچک‌تر شود — $\zeta>0.69$ برای $5\%$ و $\zeta>0.78$ برای $2\%$ — پاسخ در مسیر بالارفتن وارد نوار می‌شود و دیگر از آن خارج نمی‌شود؛ بنابراین $t_s$ واقعی از مقدار حاصل از پوش کوتاه‌تر و حتی از زمان خیز $0$ – $100\%$ هم کوتاه‌تر است.
$t_s(\zeta)$ واقعی تابعی ناپیوسته از $\zeta$ است (هر بار که یک اکسترمم دیگر به درون نوار می‌لغزد، جهش می‌کند)؛ فرمول پوش تخمین بالایی هموار آن است.

۳.۴ زمان خیز در برابر زمان نشست

با تخمین پوشِ $2\%$ ، این نسبت فقط به $\zeta$ بستگی دارد:

\frac{t_r}{t_s}=\frac{\zeta\,(\pi-\arccos\zeta)}{4\sqrt{1-\zeta^{2}}}.

$\zeta$	$\omega_n t_r$	$\omega_n t_s$	$t_r/t_s$
$0.2$	$1.81$	$20.0$	$0.09$
$0.5$	$2.42$	$8.00$	$0.30$
$0.8$	$4.16$	$5.00$	$0.83$
$0.9$	$6.17$	$4.44$	$1.39$

پس هیچ‌یک از دو ترتیب تضمین‌شده نیست: برای میرایی کم و متوسط $t_r<t_s$ است، اما با $\zeta\to1^{-}$ عامل $\sqrt{1-\zeta^{2}}\to0$ زمان خیز $0$ – $100\%$ را به بی‌نهایت می‌برد، در حالی که $t_s$ نزدیک $4/\omega_n$ می‌ماند؛ دو منحنی در حوالی $\zeta\approx0.84$ یکدیگر را قطع می‌کنند (و با زمان نشست واقعی، حتی زودتر). برای $\zeta\ge1$ زمان خیز $0$ – $100\%$ بی‌نهایت است و به همین دلیل سیستم‌های فوق‌میرا را با زمان خیز $10$ – $90\%$ مشخص می‌کنند.

۴. روش — حل یک مسئلهٔ پاسخ زمانی مرتبهٔ دوم

به فرم استاندارد برسید. تابع تبدیل (یا معادلهٔ حرکت / معادلهٔ مشخصهٔ حلقه‌بسته) را به‌صورت $s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}$ بنویسید. $\omega_n=\sqrt{a_0}$ را از جملهٔ ثابت و $\zeta=\dfrac{a_1}{2\omega_n}$ را از ضریب $s$ بخوانید. برای سیستم $M\ddot y+D\dot y+Ky=u$ این کار $\omega_n=\sqrt{K/M}$ و $\zeta=\dfrac{D}{2\sqrt{KM}}$ را می‌دهد؛ برای حلقهٔ $RLC$ سری، $\omega_n=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ و $2\zeta\omega_n=\dfrac{R}{L}$ .
به صورت کسر نگاه کنید. فقط صورتِ ثابت منحنی کتاب درسی را می‌دهد. یک عامل $s$ (خروجی دو سر مقاومت، خروجی سرعت و …) یا یک صفر متناهی، شکل موج، زمان اوج و مقدار اوج را تغییر می‌دهد — از بخش ۶ استفاده کنید، نه از $M_p$ و $t_p$ خام.
حالت ماندگار را جداگانه تعیین کنید. مشخصات گذرا ( $M_p,t_p,t_s$ ) دربارهٔ انحراف از مقدار نهایی هستند؛ مقدار نهایی از بهرهٔ DC و از طریق قضیهٔ مقدار نهایی به دست می‌آید، $y_{ss}=\lim_{s\to0}sY(s)$ . برای پله‌ای به اندازهٔ $A$ که از سیستمی با بهرهٔ DC برابر $G(0)$ می‌گذرد، $y_{ss}=A\,G(0)$ . بیشینهٔ مطلق خروجی $=y_{ss}(1+M_p)$ است، نه $M_p$ به‌تنهایی. برای ورودی‌های شیب/سهمی یا اغتشاش‌ها، انتگرال‌گیرها را بشمارید (بخش ۹).
نگاشت مشخصه ↔ پارامتر. فراجهش به‌تنهایی $\zeta$ را تعیین می‌کند؛ با معلوم‌شدن $\zeta$ ، هر مشخصهٔ زمانی ( $t_p,t_s,t_r$ ) مقدار $\omega_n$ را تعیین می‌کند. در جهت عکس، $t_s$ موردنیاز قیدی بر $\sigma=\zeta\omega_n$ است (یک خط عمودی در صفحهٔ s) و $t_p$ موردنیاز قیدی بر $\omega_d$ (یک خط افقی).
وقتی پارامتری تغییر می‌کند، مسئله را به صفحهٔ s ببرید. اگر بهرهٔ $k$ قطب‌ها را جابه‌جا کند (مکان هندسی ریشه‌ها)، مشخصه‌ای مانند « $t_s<T$ برای همهٔ $k$ های یک بازه» به این صورت درمی‌آید: «همهٔ قطب‌های حلقه‌بسته سمت چپ خط $\operatorname{Re}(s)=-4/T$ بمانند.» این شرط را در بدترین $k$ (جایی که زوج غالب در راست‌ترین موقعیت است) اعمال کنید؛ به این ترتیب که ریشه‌ها را به‌صورت $-\sigma\pm j\omega$ به‌اضافهٔ ریشه‌های حقیقی احتمالی بنویسید و ضرایب چندجمله‌ای مشخصه را برابر قرار دهید.
پیش از اعتماد به فرمول‌ها، غالب‌بودن را بررسی کنید. فرمول‌های ساده یک زوج مختلطِ خالص را فرض می‌کنند. اگر قطب/صفر اضافی وجود دارد، پیش از به‌کاربردن $M_p$ ، $t_s$ و مانند آن، مطمئن شوید که به اندازهٔ کافی دور هستند (بخش ۷).

۵. یک مثال کوچک حل‌شده

مسئله. یک حلقهٔ فیدبک واحد مسیر پیشرو $G(s)=\dfrac{k}{s(s+4)}$ دارد. $k$ را چنان انتخاب کنید که پاسخ پلهٔ حلقه‌بسته $16\%$ فراجهش داشته باشد و زمان اوج و زمان نشست $2\%$ حاصل را به دست آورید.

حل. تابع تبدیل حلقه‌بسته برابر است با

T(s)=\frac{G}{1+G}=\frac{k}{s^{2}+4s+k}.

با تطبیق با فرم استاندارد: $\omega_n^{2}=k$ و $2\zeta\omega_n=4$ ، پس $\zeta=\dfrac{2}{\sqrt{k}}$ .

فراجهش $\zeta$ را تعیین می‌کند: $M_p=0.16\Rightarrow \zeta=0.5$ (از جدول). آنگاه

\zeta=\frac{2}{\sqrt{k}}=0.5\;\Rightarrow\; \sqrt{k}=4\;\Rightarrow\; k=16,\qquad \omega_n=4 .

اکنون مشخصات زمانی به دست می‌آیند:

\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}=4\sqrt{0.75}=3.46,\qquad t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=0.91\,\text{s},

\sigma=\zeta\omega_n=2,\qquad t_s\approx\frac{4}{\sigma}=2\,\text{s}.

پس $k=16$ فراجهش $16\%$ ، نخستین اوج در $\approx0.91\,$ s و نشست $2\%$ تا $\approx 2\,$ s را می‌دهد. به الگو توجه کنید: فراجهش $\zeta$ را مشخص کرد؛ سپس مقدار ثابت $2\zeta\omega_n=4$ در حلقه، $\omega_n$ را به ما داد.

۶. وقتی صورت کسر ثابت نیست

مخرج $\sigma$ و $\omega_d$ و در نتیجه پوش و فرکانس نوسان را تعیین می‌کند؛ صورت تعیین می‌کند که کدام ترکیب از $y(t)$ و مشتق آن را واقعاً می‌بینید. نکتهٔ کلیدی این است که ضرب یک تابع تبدیل در $s$ از پاسخ پلهٔ آن مشتق می‌گیرد (با شرایط اولیهٔ صفر)، و مشتق پاسخ پلهٔ استاندارد همان $h(t)$ بخش ۳ است.

۶.۱ یک صفر حقیقی متناهی

T_z(s)=\frac{\omega_n^{2}\left(1+\dfrac{s}{z}\right)}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}} \qquad\Longrightarrow\qquad y_z(t)=y(t)+\frac{1}{z}\,\dot y(t)=y(t)+\frac{\omega_n^{2}}{z\,\omega_d}\,e^{-\sigma t}\sin\omega_d t .

بهرهٔ DC همچنان $1$ است، پس مقدار نهایی تغییر نمی‌کند. با قراردادن $\dot y_z=0$ داریم $\tan(\omega_d t_p)=\dfrac{-\omega_d}{z-\sigma}$ . برای صفری در نیم‌صفحهٔ چپ ( $z>0$ )، فرض کنید $\psi$ زاویهٔ خطِ واصل به قطب بالایی باشد که در محل صفر $s=-z$ اندازه‌گیری می‌شود، و $d$ طول آن خط:

\psi=\operatorname{atan2}(\omega_d,\ z-\sigma),\qquad d=\sqrt{(z-\sigma)^{2}+\omega_d^{2}} .

آنگاه

t_p=\frac{\pi-\psi}{\omega_d},\qquad M_{p,z}=\frac{d}{z}\,e^{-\sigma t_p}.

اوج زودتر از $\pi/\omega_d$ رخ می‌دهد و بلندتر از $e^{-\sigma\pi/\omega_d}$ است: صفر نیم‌صفحهٔ چپ پاسخ را سریع‌تر و فراجهش را بیشتر می‌کند.
با $z\to\infty$ : $\psi\to0$ و $d/z\to1$ و مقادیر مرتبهٔ دوم خالص بازمی‌گردند. صفر زمانی اهمیت پیدا می‌کند که $z$ در حد چند برابر $\sigma$ باشد.
حالت خاص $z=\sigma$ (صفر درست زیر قطب‌ها): $\psi=\tfrac{\pi}{2}$ ، پس اوج در یک‌چهارم دوره قرار دارد، $t_p=\dfrac{\pi}{2\omega_d}$ .
صفر نیم‌صفحهٔ راست ( $z<0$ ) جملهٔ مشتق را کم می‌کند: پاسخ ابتدا در جهت نادرست حرکت می‌کند (فروجهش، نامینیمم‌فاز) و سپس بالا می‌رود.

مثال کوچک. $T_z(s)=\dfrac{25\left(1+\tfrac{s}{6}\right)}{s^{2}+6s+25}$ . در این‌جا $\omega_n=5$ ، $\sigma=3$ ، $\omega_d=4$ ، $\zeta=0.6$ . بدون صفر: $t_p=\tfrac{\pi}{4}=0.785\,$ s، $M_p=9.5\%$ . با صفر در $s=-6$ : $\psi=\operatorname{atan2}(4,3)=0.927$ رادیان و $d=5$ ، پس

t_p=\frac{\pi-0.927}{4}=0.554\ \text{s},\qquad M_{p,z}=\frac{5}{6}\,e^{-3(0.554)}=0.158 .

فراجهش از $9.5\%$ به $15.8\%$ افزایش می‌یابد و اوج $0.23\,$ s زودتر می‌رسد، با این‌که $\zeta$ و $\omega_n$ دست‌نخورده مانده‌اند.

۶.۲ صفر در مبدأ (خروجی میان‌گذر)

T_{bp}(s)=\frac{2\zeta\omega_n s}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}} \qquad\Longrightarrow\qquad y_{bp}(t)=\frac{2\sigma}{\omega_d}\,e^{-\sigma t}\sin\omega_d t .

این همان ولتاژ مقاومت در یک حلقهٔ $RLC$ سری است که با پلهٔ ولتاژ تحریک شده (و با صرف‌نظر از یک ضریب ثابت، سرعت یک سیستم جرم–فنر–دمپر). نقاط شاخص آن با نقاط شاخص بخش ۳ تفاوت دارد:

مقدار نهایی $0$ (بهرهٔ DC صفر) — پاسخ یک سینوسی میراشونده حول صفر است؛
عبور از صفر در $t=\dfrac{k\pi}{\omega_d}$ ، یعنی دقیقاً در اکسترمم‌های خروجی پایین‌گذر $y(t)$ ؛
نخستین بیشینه در جایی که $\tan(\omega_d t)=\dfrac{\omega_d}{\sigma}$ ، یعنی $\omega_d t_m=\phi=\arccos\zeta$ :

t_m=\frac{\arccos\zeta}{\omega_d},\qquad y_{bp}(t_m)=2\zeta\,e^{-\zeta\arccos\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}} .

شناسایی از روی چنین نموداری. نخستین عبور از صفر $t_0$ و نخستین بیشینه $t_m$ را بخوانید. آنگاه

\omega_d=\frac{\pi}{t_0},\qquad \zeta=\cos\!\left(\pi\,\frac{t_m}{t_0}\right),\qquad \sigma=\frac{\omega_d}{\tan(\omega_d t_m)},\qquad \omega_n=\sqrt{\sigma^{2}+\omega_d^{2}} .

مثال: پاسخ پلهٔ میان‌گذری نخستین بار در $t_0=0.785\,$ s از صفر می‌گذرد و در $t_m=0.232\,$ s به اوج می‌رسد. آنگاه $\omega_d=4$ ، $\omega_d t_m=0.927$ رادیان، $\zeta=\cos(0.927)=0.6$ ، $\sigma=4/\tan(0.927)=3$ ، $\omega_n=5$ ؛ ارتفاع اوج برابر $2(0.6)e^{-3(0.232)}=0.60$ است.

۶.۳ خروجی‌هایی که مجموع چنین جمله‌هایی هستند

در یک مدار یا سازوکار، چندین خروجی مخرج مشترکی دارند. خروجی موردنظر را به‌صورت مجموع تکه‌هایی بنویسید که از پیش می‌شناسید — مثلاً در یک حلقهٔ $RLC$ سری، ولتاژ دو سر زوج $R$ – $C$ برابر $v_R+v_C$ است، با تابع تبدیل $\dfrac{RCs+1}{LCs^{2}+RCs+1}$ : یک جملهٔ پایین‌گذر به‌اضافهٔ مشتق مقیاس‌شدهٔ آن، یعنی دقیقاً حالت صفر متناهیِ ۶.۱ با $z=\dfrac{1}{RC}$ . بنابراین اوج آن بزرگ‌تر و زودتر از اوج $v_C$ به‌تنهایی است.

۷. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

بهرهٔ DC غیرواحد / پلهٔ غیرواحد. هیچ چیزِ شکل پاسخ تغییر نمی‌کند؛ فقط $y_{ss}=A\,G(0)$ مقیاس می‌شود. همیشه «میزان فراجهش» (یک درصد، که $\zeta$ تعیین می‌کند) را از «مقدار نهایی» (که بهره و اندازهٔ ورودی تعیین می‌کنند) جدا کنید.
زوج مرتبهٔ دوم غالب درون یک سیستم مرتبهٔ بالاتر. اگر سیستمی قطب/صفر اضافی داشته باشد ولی یک زوج مختلط بسیار نزدیک‌تر به محور موهومی باشد (قاعدهٔ سرانگشتی: قطب‌های دیگر $\ge 5\sigma$ در سمت چپ، یعنی $5\times$ سریع‌تر)، آن زوج غالب است و فرمول‌های مرتبهٔ دوم به‌طور تقریبی برقرارند؛ بنابراین یک زوج با میرایی کم عملاً همهٔ فراجهش خود را نشان می‌دهد. یک قطب حقیقی اضافی که دور نباشد (هم‌مرتبهٔ $\sigma$ ) خیز را کُند و فراجهش را کم می‌کند.
صفر اضافی. صفر نیم‌صفحهٔ چپ در نزدیکی قطب‌ها فراجهش را افزایش می‌دهد و خیز را سریع‌تر می‌کند؛ صفر نیم‌صفحهٔ راست موجب فروجهش می‌شود. فرمول خام $M_p$ دیگر برقرار نیست — از بخش ۶ استفاده کنید.
زمان نشست / غالب‌بودن به‌عنوان قیدی در صفحهٔ s. « $t_s<T$ » $\equiv$ قطب‌ها سمت چپ $\operatorname{Re}(s)=-4/T$ ؛ « $M_p<$ مقدار هدف» $\equiv$ قطب‌ها درون گوهٔ $\lvert\theta\rvert<\arccos\zeta_{\min}$ ؛ « $t_p<T$ » $\equiv$ $\omega_d>\pi/T$ . طراحی (مکان هندسی ریشه‌ها / جایابی قطب) چیزی جز هدایت قطب‌ها به درون اشتراک این نواحی نیست.
شناسایی سیستم از روی نمودار پاسخ پله. مقدار نهایی (→ بهرهٔ DC)، فراجهش (→ $\zeta$ ) و زمان نشست یا دورهٔ نوسان $T=2\pi/\omega_d$ (→ $\omega_n$ ) را بخوانید. هنگام مقایسهٔ تابع‌های تبدیل نامزد، کُندترین قطب (نزدیک‌ترین به محور موهومی) زمان نشست و کم‌میراترین زوج، ریپل را تعیین می‌کند.

۸. شکل‌دهی ورودی: فرمان دوپله‌ای (posicast)

یک سیستم با میرایی کم را می‌توان بدون تغییر قطب‌هایش و فقط با شکل‌دادن به فرمان، بدون فراجهش و بدون نوسان به مقدار نهایی رساند. پله‌ای به ارتفاع $R$ را به دو پله تقسیم کنید:

r(t)=a\,R\,u(t)+(1-a)\,R\,u(t-b),\qquad b=t_p=\frac{\pi}{\omega_d},\qquad a=\frac{1}{1+M_p}=\frac{1}{1+e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}} .

چرا کار می‌کند. پلهٔ اول به‌تنهایی در $t_p$ با مقدار $aR(1+M_p)=R$ و با شیب صفر به اوج می‌رسد. در آن لحظه خروجی با سرعت صفر روی مقدار هدف قرار دارد و پلهٔ دوم فرمان را نیز به $R$ می‌رساند؛ پس سیستم در حال تعادل است و همان‌جا می‌ماند. به‌طور معادل، چون $\omega_d b=\pi$ ، جملهٔ نوسانیِ ناشی از پلهٔ دوم $-e^{\sigma b}$ برابر جملهٔ اول است؛ این دو دقیقاً وقتی یکدیگر را خنثی می‌کنند که $a=(1-a)e^{\sigma b}$ ، که همان مقدار $a$ است.

تشخیص. یک ورودی پلکانی همراه با خروجی‌ای که در نیمی از دورهٔ میرا به مقدار نهایی می‌رسد و سپس کاملاً تخت می‌ماند، آن هم برای سیستمی که $\zeta$ آن آشکارا کمتر از $1$ است.

مثال کوچک. برای $T(s)=\dfrac{16}{s^{2}+4s+16}$ ( $\zeta=0.5$ , $\omega_d=3.46$ , $M_p=0.163$ ): در $b=\dfrac{\pi}{3.46}=0.91\,$ s با سطح اول $a=\dfrac{1}{1.163}=0.86$ کلیدزنی کنید. خروجی در $0.91\,$ s به $1$ می‌رسد و همان‌جا می‌ماند — مقایسه کنید با فراجهش $16\%$ و $t_s\approx2\,$ s برای یک پلهٔ واحد ساده.

انتخاب‌های نادرست رایج: $a=M_p$ (اوج اول به‌جای مقدار هدف روی $M_p(1+M_p)$ می‌نشیند)، یا $b=\dfrac{2\pi}{\omega_d}$ (یک دورهٔ کامل — در این صورت دو نوسان به‌جای خنثی‌کردن، با هم جمع می‌شوند).

۹. خطای حالت ماندگار و نوع سیستم

۹.۱ ردیابی ورودی مرجع

برای یک حلقهٔ پایدار با فیدبک واحد و تابع تبدیل حلقهٔ $L(s)$ ، خطا برابر $E(s)=\dfrac{R(s)}{1+L(s)}$ است و بنا بر قضیهٔ مقدار نهایی، $e_{ss}=\lim_{s\to0}\dfrac{sR(s)}{1+L(s)}$ . بنویسید $L(s)=\dfrac{K\,N(s)}{s^{N}D(s)}$ با $N(0)=D(0)=1$ . عدد صحیح $N$ — تعداد انتگرال‌گیرها (قطب‌های واقع در $s=0$ ) در حلقه — همان نوع سیستم است. ثابت‌های خطا را چنین تعریف کنید:

K_p=\lim_{s\to0}L(s),\qquad K_v=\lim_{s\to0}sL(s),\qquad K_a=\lim_{s\to0}s^{2}L(s).

نوع $N$	پله $u(t)$	شیب $t\,u(t)$	سهمی $\tfrac12t^{2}u(t)$
$0$	$\dfrac{1}{1+K_p}$	$\infty$	$\infty$
$1$	$0$	$\dfrac{1}{K_v}$	$\infty$
$2$	$0$	$0$	$\dfrac{1}{K_a}$

یک حلقهٔ نوع $N$ ورودی‌های چندجمله‌ای تا $t^{N-1}$ را با خطای صفر و $t^{N}$ را با خطای متناهی و غیرصفر ردیابی می‌کند. این جدول فقط در صورتی معنا دارد که حلقه‌بسته پایدار باشد.

برای نمونهٔ مرتبهٔ دوم $L(s)=\dfrac{\omega_n^{2}}{s(s+2\zeta\omega_n)}$ (نوع ۱):

K_v=\frac{\omega_n}{2\zeta},\qquad e_{ss,\text{ramp}}=\frac{2\zeta}{\omega_n}.

به این مصالحه توجه کنید: میرایی بیشتر یعنی خطای شیب بزرگ‌تر. افزودن کنترل‌کننده، ثابت‌ها را فقط از طریق مقدار آن در $s=0$ تغییر می‌دهد. یک کنترل‌کنندهٔ PD به‌صورت $K_P+K_Ds$ در مسیر پیشرو می‌دهد $K_v=\dfrac{K_P\,\omega_n}{2\zeta}$ : نوع سیستم تغییر نمی‌کند، خطای شیب در $1/K_P$ ضرب می‌شود (اگر $K_P>1$ کوچک‌تر، اگر $K_P<1$ بزرگ‌تر و اگر $K_P=1$ بدون تغییر)، و $K_D$ اصلاً ظاهر نمی‌شود — عمل مشتق‌گیر حالت گذرا را شکل می‌دهد و هرگز بر حالت ماندگار اثر ندارد. کنترل‌کنندهٔ PI یک قطب در مبدأ اضافه می‌کند و نوع سیستم را یک واحد بالا می‌برد.

۹.۲ نوع سیستم نسبت به اغتشاش

اغتشاش $W$ نباید در خروجی ظاهر شود؛ پس خطایی که ایجاد می‌کند همان مؤلفهٔ خروجی $Y_W$ است. نوع نسبت به $W$ را تعداد صفرهای $T_W(s)=\dfrac{Y(s)}{W(s)}$ در $s=0$ تعریف کنید: با $N_W$ صفر از این دست، اغتشاش‌ها تا $t^{N_W-1}$ به‌طور کامل حذف می‌شوند و $t^{N_W}$ یک آفست متناهی بر جا می‌گذارد.

فرض کنید اغتشاش در یک حلقهٔ فیدبک واحد میان دو بلوک وارد شود: $G_1$ (بالادست، از نقطهٔ جمع خطا تا نقطهٔ ورود) و $G_2$ (پایین‌دست، از نقطهٔ ورود تا خروجی)، که به‌ترتیب $L_1$ و $L_2$ انتگرال‌گیر دارند:

T_W(s)=\frac{G_2}{1+G_1G_2}.

با ضرب صورت و مخرج در $s^{L_1+L_2}$ ، عامل $s^{L_2}$ مربوط به $G_2$ ساده می‌شود و $s^{L_1}$ در صورت باقی می‌ماند، در حالی که مخرج (چندجمله‌ای مشخصهٔ حلقه‌بسته) در $s=0$ غیرصفر است. بنابراین

N_W=L_1=\text{number of loop integrators located upstream of the disturbance entry point.}

(یعنی تعداد انتگرال‌گیرهای حلقه که بالادستِ نقطهٔ ورود اغتشاش قرار دارند.)

محل ورود $W$	$Y/W$	نوع نسبت به $W$
در خروجی (پس از $G_2$ )	$\dfrac{1}{1+G_1G_2}$	$L_1+L_2$ (همانند ردیابی مرجع)
میان $G_1$ و $G_2$	$\dfrac{G_2}{1+G_1G_2}$	$L_1$
در نقطهٔ جمع ورودی (افزوده به $r$ )	$\dfrac{G_1G_2}{1+G_1G_2}$	$0$

اغتشاشی که در نقطهٔ جمع مرجع افزوده شود از تغییر ورودی مرجع قابل تمایز نیست: اگر حلقه حتی یک انتگرال‌گیر داشته باشد، $T_W(0)=1$ و یک $W$ ثابت به‌طور کامل به خروجی می‌رسد. علامت فیدبک و علامت جمع‌کنندهٔ اغتشاش هرگز این شمارش‌ها را تغییر نمی‌دهد.

مثال کوچک. $G_1(s)=\dfrac{s+2}{s}$ (کنترل‌کنندهٔ PI، $L_1=1$ ) و $G_2(s)=\dfrac{3}{s(s+4)}$ ( $L_2=1$ ). چندجمله‌ای مشخصه $s^{3}+4s^{2}+3s+6$ است که بنا بر معیار راث پایدار است ( $4\cdot3>6$ ).

اغتشاش میان دو بلوک: $T_W=\dfrac{3s}{s^{3}+4s^{2}+3s+6}$ — یک صفر در مبدأ، نوع $1$ . اغتشاش ثابت حذف می‌شود؛ اغتشاش شیب واحد مقدار $y_{ss}=\lim_{s\to0}s\,T_W\dfrac{1}{s^{2}}=\dfrac{3}{6}=0.5$ را بر جا می‌گذارد.
اغتشاش در خروجی: $T_W=\dfrac{s^{2}(s+4)}{s^{3}+4s^{2}+3s+6}$ — نوع $2$ . پله و شیب حذف می‌شوند؛ $\tfrac12t^{2}$ مقدار $\dfrac{4}{6}=0.67=\dfrac{1}{K_a}$ را بر جا می‌گذارد، با $K_a=\lim_{s\to0}s^{2}G_1G_2=1.5$ .
اغتشاش در نقطهٔ جمع ورودی: نوع $0$ ، $T_W(0)=1$ .

به همین دلیل انتگرال‌گیری که قرار است اغتشاش بار را حذف کند باید در کنترل‌کننده و پیش از نقطهٔ ورود بار قرار گیرد؛ انتگرال‌گیری که درون سیستم و پس از آن نقطه باشد کمکی نمی‌کند.

نکتهٔ کنکوری: نقش‌ها را از هم جدا نگه دارید — فراجهش و هر نسبت دامنه‌ای فقط به $\zeta$ بستگی دارد، هر شاخص زمانی متناسب با $1/\omega_n$ مقیاس می‌شود، و مقدار نهایی / خطای حالت ماندگار پرسشی جداگانه است که با بهرهٔ DC و شمارش انتگرال‌گیرها پاسخ داده می‌شود. بیشتر سؤال‌های «تله‌دار» از خلط این‌ها بهره می‌برند: خواستن بیشینهٔ خروجی (که $y_{ss}(1+M_p)$ است و هم بهره و هم $\zeta$ را لازم دارد)؛ به‌کاربردن $1+M_p$ در $t=\pi/\omega_d$ برای خروجی‌ای که تابع تبدیلش صفر دارد (اوج واقعی بلندتر و زودتر است)؛ ادعای این‌که همیشه $t_s>t_r$ (که نزدیک $\zeta\to1$ نادرست است)؛ یا شمردن همهٔ انتگرال‌گیرهای حلقه برای اغتشاشی که در میانهٔ حلقه وارد می‌شود (فقط انتگرال‌گیرهای بالادست به حساب می‌آیند). $M_p(\zeta)$ را حفظ کنید: $\zeta=0.5\!\to\!16\%$ و $\zeta\approx0.69\!\to\!5\%$ وارون‌سازی‌های پردردسر را به یک خط تبدیل می‌کنند.

فرمول‌های کلیدی

Standard second-order form

G(s)=\frac{\omega_n^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}

Underdamped poles

s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}=-\sigma\pm j\omega_d

Damping angle

\zeta=\cos\theta,\qquad \sigma=\zeta\omega_n,\qquad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}

Percent overshoot

M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}

Damping ratio from overshoot

\zeta=\frac{-\ln M_p}{\sqrt{\pi^{2}+\ln^{2}M_p}}

Peak time

t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}}

Settling time (2% / 5%)

t_s\approx\frac{4}{\zeta\omega_n}\ (2\%),\qquad t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}\ (5\%)

Peak output for a step of size A

y_{\max}=y_{ss}\,(1+M_p),\qquad y_{ss}=A\,G(0)

Unit-step response (underdamped)

y(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\sin(\omega_d t+\phi),\qquad \phi=\arccos\zeta

Impulse response (derivative of the step response)

h(t)=\dot y(t)=\frac{\omega_n^{2}}{\omega_d}\,e^{-\sigma t}\sin\omega_d t

Rise time (0-100%)

t_r=\frac{\pi-\arccos\zeta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}}

All extrema of the step response

t_k=\frac{k\pi}{\omega_d},\qquad y(t_k)=1-(-1)^{k}M_p^{\,k}

Ratio of first to n-th overshoot

\exp\!\left(\frac{2\pi(n-1)\,\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\right)

Time scaling by the natural frequency

y(t)=f(\omega_n t;\ \zeta)\ \Rightarrow\ t^{*}=\frac{\tau^{*}(\zeta)}{\omega_n}

Rise-to-settling ratio (2% envelope)

\frac{t_r}{t_s}=\frac{\zeta\,(\pi-\arccos\zeta)}{4\sqrt{1-\zeta^{2}}}

Step response with a real zero at s=-z

y_z(t)=y(t)+\frac{1}{z}\,\dot y(t)

Peak with a left-half-plane zero

t_p=\frac{\pi-\psi}{\omega_d},\quad M_{p,z}=\frac{d}{z}\,e^{-\sigma t_p},\quad \psi=\operatorname{atan2}(\omega_d,\,z-\sigma),\quad d=\sqrt{(z-\sigma)^{2}+\omega_d^{2}}

Band-pass step response

\frac{2\zeta\omega_n s}{s^{2}+2\zeta\omega_n s+\omega_n^{2}}\ \to\ \frac{2\sigma}{\omega_d}\,e^{-\sigma t}\sin\omega_d t,\qquad t_m=\frac{\arccos\zeta}{\omega_d}

Posicast two-step command

r(t)=a\,u(t)+(1-a)\,u(t-b),\qquad b=\frac{\pi}{\omega_d},\qquad a=\frac{1}{1+M_p}

Error constants

K_p=\lim_{s\to0}L(s),\qquad K_v=\lim_{s\to0}sL(s),\qquad K_a=\lim_{s\to0}s^{2}L(s)

Ramp error of the second-order prototype

K_v=\frac{\omega_n}{2\zeta},\qquad e_{ss}=\frac{2\zeta}{\omega_n}

Type with respect to a mid-loop disturbance

\frac{Y}{W}=\frac{G_2}{1+G_1G_2}\ \Rightarrow\ N_W=L_1\ (\text{integrators upstream of the entry point})

#second-order-system#damping-ratio#percent-overshoot#settling-time#step-response#steady-state-error#system-type#posicast

سوالات تمرینی · 8/12

سیستم‌های کنترل خطیمتوسطپاسخ زمانیکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۸۶

به سیستم زیر، ورودی نیروی پلّه واحد u(t)=۱ N اعمال می‌شود. خروجی، میزان جابجایی جرم M=۱ Kg می‌باشد. جرم M از یک طرف به فنری با ضریب سختی K و از طرف دیگر به یک دمپر (میراگر) D متصل است که هر دو به سقف…

سیستم‌های کنترل خطیمتوسطپاسخ زمانیکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۸۸

پاسخ پله شکل زیر (دامنه بر حسب زمان به ثانیه) از صفر شروع می‌شود، در نزدیکی t=۱ ثانیه با نوسان‌های کوچک به حدود ۰٫۷ می‌رسد، تا t=۲ ثانیه به حدود ۰٫۹ می‌رسد و تا حدود t=۴ ثانیه بدون فراجهش بالای ۱ به…

سیستم‌های کنترل خطیسختپاسخ زمانیکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۹۰

سیستمی با تابع تبدیل حلقه باز G(s) = k/((s+۲)(s+۳)(s+p)) ؛ p > ۳ و k > ۰ و فیدبک واحد منفی در نظر بگیرید. اگر برای ۰ < k < ۳۰ ، زمان نشست با معیار ۲٪ در پاسخ پله کمتر از ۲ ثانیه باشد، مقدار p چقدر…

سیستم‌های کنترل خطیمتوسطپاسخ زمانیکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۸۷

نمودار زیر، پاسخ ضربه کدام سیستم می‌تواند باشد؟ شکل (Impulse Response، دامنه بر حسب زمان به ثانیه): پاسخ در t=۰ از دامنهٔ +۱ شروع می‌شود و بلافاصله کاهش می‌یابد و در حدود t ≈ ۳ ثانیه به کمینهٔ حدود…

سیستم‌های کنترل خطیسختپاسخ زمانیکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۹۰

جدول راث چندجمله‌ای (s-1)^3+a(s-1)^2+b(s-1)+k=0 که در آن a و b پارامترهای ثابت هستند، به‌صورت زیر است: --- --- --- s^3 1 11 s^2 9 -21+k s^1 40/3-k/9 0 s^0 -21+k 0 اگر تابع تبدیل G(s)=dfrac k…

سیستم‌های کنترل خطیمتوسطپاسخ زمانیکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۱ — سؤال ۹۱

در سیستم زیر، ارابه‌ای به جرم M روی سطح حرکت می‌کند و توسط فنر K به‌همراه دمپر B (به‌صورت موازی) به دیوار متصل است؛ طنابی از نقطهٔ A روی ارابه خارج شده، از روی قرقره عبور می‌کند و جسمی به جرم m را…

سیستم‌های کنترل خطیمتوسطپاسخ زمانیکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۱ — سؤال ۹۴

تابع تبدیل حلقه‌باز سیستمی به‌صورت ۱/(α s+۱) است. با استفاده از کنترل‌کننده تناسبی u=(r-y)k_p که r ورودی و y خروجی است، پاسخ پله به‌صورت زیر می‌شود. F چه مقداری است؟ شکل: نمودار y(t) بر حسب t برای…

سیستم‌های کنترل خطیسختپاسخ زمانیکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰ — سؤال ۹۱

در مدار شکل الف، پاسخ ولتاژ دو سر مقاومت R = ۱ Ω به ورودی پله واحد در شکل ب داده شده است. نمودار ولتاژ دوسر RC ( V_RC(t) نشان‌داده شده در شکل الف)، کدام است؟ شکل (الف): منبع ولتاژ V_i(t) به‌صورت سری…

همهٔ 12 سؤال →