سوال ۸۸ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — پاسخ پله شکل زیر (دامنه بر حسب زمان به ثانیه) از صفر شروع می‌شود، در…

Question

پاسخ پله شکل زیر (دامنه بر حسب زمان به ثانیه) از صفر شروع می‌شود، در نزدیکی $t=۱$ ثانیه با نوسان‌های کوچک به حدود ۰٫۷ می‌رسد، تا $t=۲$ ثانیه به حدود ۰٫۹ می‌رسد و تا حدود $t=۴$ ثانیه بدون فراجهش بالای ۱ به مقدار نهایی ۱ می‌رسد. پاسخ پله شکل زیر متناظر با کدام‌یک از توابع تبدیل داده شده می‌تواند می‌باشد؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — $G(s)=\dfrac{۲۵}{(s+۱)(s^{۲}+۲s+۲۵)}$

پاسخ تشریحی

خواندن نمودار

پاسخ پله سه ویژگی دارد که باید با آن‌ها تطبیق داده شود:

مقدار نهایی $=1$ — پس هر گزینهٔ نامزد باید بهرهٔ DC برابر $G(0)=1$ داشته باشد.
نوسان‌های کوچک، بدون فراجهش بزرگ — زوج قطب‌های کم‌میرا فقط یک نوسان کوچک ایجاد می‌کند، نه یک فراجهش بزرگ.
نشست تا $t\approx 4\,\mathrm{s}$ — کندترین ( $=$ غالب) ثابت زمانی حدود $1\,\mathrm{s}$ است.

هر چهار گزینه زوج مختلط یکسانی دارند

هر گزینه شامل چندجمله‌ای درجه‌دوم زیر است

s^{2}+2s+25 \;\Rightarrow\; \omega_n=5,\quad 2\zeta\omega_n=2 \;\Rightarrow\; \zeta=0.2,

با قطب‌هایی در $s=-1\pm j\sqrt{24}\approx -1\pm j4.9$ (فرکانس میرا $\omega_d\approx4.9\,\mathrm{rad/s}$ ، دورهٔ تناوب نوسان $T=2\pi/\omega_d\approx1.3\,\mathrm{s}$ — همان نوسان‌های قابل‌مشاهده). گزینه‌ها فقط در قطب حقیقی اضافی با یکدیگر تفاوت دارند:

گزینه	قطب حقیقی	ثابت زمانی $\tau$	بهرهٔ DC
۱	$s=-\tfrac14$	$4\,\mathrm{s}$	$\tfrac{25}{1\cdot25}=1$
۲	$s=-\tfrac12$	$2\,\mathrm{s}$	$\tfrac{25}{1\cdot25}=1$
۳	$s=-1$	$1\,\mathrm{s}$	$\tfrac{25}{1\cdot25}=1$
۴	$s=-4$	$0.25\,\mathrm{s}$	$\tfrac{100}{4\cdot25}=1$

همه $G(0)=1$ دارند، پس ویژگی ۱ تعیین‌کننده نیست — اما ویژگی‌های ۲ و ۳ تعیین‌کننده‌اند.

حذف بر پایهٔ زمان نشست (ویژگی ۳)

گزینه‌های ۱ و ۲ قطب غالب را در $-\tfrac14$ یا $-\tfrac12$ قرار می‌دهند، یعنی $\tau=4\,\mathrm{s}$ یا $2\,\mathrm{s}$ . زمان نشست $2\%$ آن‌ها که $\approx4\tau$ است برابر $16\,\mathrm{s}$ یا $8\,\mathrm{s}$ می‌شود — بسیار کندتر از آن؛ نمودار عملاً تا $4\,\mathrm{s}$ به پایان رسیده است. رد می‌شوند.

حذف بر پایهٔ فراجهش (ویژگی ۲)

گزینهٔ ۴ قطب حقیقی را در $-4$ قرار می‌دهد (سریع، $\tau=0.25\,\mathrm{s}$ )، بنابراین پاسخ تحت سلطهٔ زوج مختلط با $\zeta=0.2$ قرار می‌گیرد. یک سیستم درجه‌دوم با $\zeta=0.2$ دارای

M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^{2}}}=e^{-\pi(0.2)/\sqrt{0.96}}\approx 0.53,

یعنی فراجهش $\approx53\%$ است — منحنی به‌مقدار زیادی بالای $1$ می‌رود. اما نمودار هیچ فراجهشی بالای $1$ نشان نمی‌دهد، فقط نوسان‌های بسیار کوچک. رد می‌شود.

گزینهٔ ۳ درست از آب درمی‌آید — اثبات با بسط کسرهای جزئی

برای $G(s)=\dfrac{25}{(s+1)(s^{2}+2s+25)}$ ، پاسخ پله $Y(s)=G(s)/s$ به‌صورت زیر بسط می‌یابد

Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{25/24}{s+1}+\frac{\tfrac{1}{24}s-\tfrac{23}{24}}{s^{2}+2s+25}.

با معکوس‌گیری از جملهٔ آخر (با کامل‌کردن مربع به کمک $s+1$ و $\sqrt{24}\approx4.9$ ):

y(t)=1-\tfrac{25}{24}e^{-t}+e^{-t}\!\left[\tfrac{1}{24}\cos(4.9t)-\tfrac{1}{4.9}\sin(4.9t)\right].

کروشهٔ نوسانی دامنه‌ای برابر $\sqrt{(1/24)^2+(1/4.9)^2}\approx0.21$ دارد، پس نوسان فقط $\approx0.2\,e^{-t}$ است — یک نوسان کوچک سوار بر خیزش هموار $1-\tfrac{25}{24}e^{-t}$ که با $\tau=1\,\mathrm{s}$ میرا می‌شود (تا $\sim4\,\mathrm{s}$ نشست می‌کند). این دقیقاً همان منحنی رسم‌شده است: یک نزدیک‌شدن هموار به $1$ با نوسان‌های کم‌رنگ و بدون فراجهش. گزینهٔ ۳.

نکتهٔ کنکوری: وقتی همهٔ نامزدها زوج مختلط یکسان و بهرهٔ DC یکسانی دارند، تصمیم‌گیری را صرفاً بر پایهٔ قطب حقیقی اضافی انجام دهید. قطب حقیقی خیلی کند (گزینه‌های ۱ و ۲) زمان نشست را کش می‌دهد؛ قطب حقیقی خیلی سریع (گزینهٔ ۴) اجازه می‌دهد زوج کم‌میرای ( $\zeta=0.2$ ) غالب شود و فراجهش بزرگ ایجاد کند. قطب در $s=-1$ دقیقاً روی بخش حقیقی زوج مختلط قرار می‌گیرد و میرایی متناسب، نشست $\sim4\,\mathrm{s}$ و تنها نوسان‌های کوچک ایجاد می‌کند.

Accepted Answer

G(s)=dfrac ۲۵ (s+۱)(s^۲+۲s+۲۵)

Answer

G(s)=dfrac ۲۵ (۴s+۱)(s^۲+۲s+۲۵)

Answer

G(s)=dfrac ۲۵ (۲s+۱)(s^۲+۲s+۲۵)

Answer

G(s)=dfrac ۱۰۰ (s+۴)(s^۲+۲s+۲۵)

خواندن نمودار

هر چهار گزینه زوج مختلط یکسانی دارند

حذف بر پایهٔ زمان نشست (ویژگی ۳)

حذف بر پایهٔ فراجهش (ویژگی ۲)

گزینهٔ ۳ درست از آب درمی‌آید — اثبات با بسط کسرهای جزئی

کارت‌های مرتبط