سوال ۸۸ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

۱. نوشتن چندجمله‌ای مشخصه از روی نقشهٔ قطب‌ها

هشت قطب حلقه‌بستهٔ خوانده‌شده از شکل عبارت‌اند از

$s=\pm jc,\qquad s=\pm jd,\qquad s=+a,\qquad s=-a,\qquad s=-a\pm jb .$

با دسته‌بندی زوج‌های مزدوج، چندجمله‌ای مشخصهٔ درجه‌۸ به‌دست می‌آید:

$P(s)=\underbrace{(s^{2}+c^{2})(s^{2}+d^{2})(s^{2}-a^{2})}_{\textstyle A(s)\ \ (\text{even, degree }6)}\;\cdot\;\underbrace{\left[(s+a)^{2}+b^{2}\right]}_{\textstyle Q(s)\ \ (\text{degree }2)} .$

توجه کنید که $(s-a)(s+a)=s^{2}-a^{2}$: دو قطب حقیقی $+a$ و $-a$ یک زوج قرینه نسبت به مبدأ هستند، دقیقاً مانند دو زوج موهومی.

۲. تعداد سطرها چقدر است؟

$\deg P=8$ است و آرایهٔ روث از $s^{8},s^{7},\dots,s^{1},s^{0}$ پیش می‌رود، یعنی

$N_{\text{rows}}=n+1=9 .$

هر چهار گزینه در این مورد هم‌نظرند، پس این چیزی را تعیین نمی‌کند — عامل تمایز این است که سطر صفر کجا ظاهر می‌شود.

۳. سطر صفر کجا ظاهر می‌شود؟

یک سطر تماماً صفر زودهنگام رخ می‌دهد اگر و تنها اگر $P(s)$ عاملی داشته باشد که ریشه‌هایش نسبت به مبدأ متقارن باشند (یعنی $P$ یک مقسوم‌علیه زوج غیربدیهی $A(s)$ با $A(-s)=A(s)$ داشته باشد). همهٔ ریشه‌های $P$ را که تصویر قرینهٔ آن‌ها $-s$ نیز ریشه است، گردآوری می‌کنیم:

قطب‌های باقی‌مانده $-a\pm jb$ متقارن نیستند (قرینه‌های آن‌ها یعنی $+a\mp jb$ وجود ندارند)، پس در خارج‌قسمت $Q(s)=s^{2}+2as+(a^{2}+b^{2})$ باقی می‌مانند.

بنابراین چندجمله‌ای کمکی برابر است با

$A(s)=(s^{2}+c^{2})(s^{2}+d^{2})(s^{2}-a^{2})=s^{6}+(c^{2}+d^{2}-a^{2})s^{4}+(c^{2}d^{2}-a^{2}c^{2}-a^{2}d^{2})s^{2}-a^{2}c^{2}d^{2},$

که درجهٔ $m=6$ دارد. قاعدهٔ استاندارد چنین است: ضرایب چندجمله‌ای کمکی در سطر $s^{m}$ قرار می‌گیرند و سطر پایین‌تر از آن، یعنی $s^{m-1}$، به‌طور یکسان صفر می‌شود. با $m=6$،

$\boxed{\text{the } s^{6}\text{ row carries }A(s)\ \Rightarrow\ \text{the } s^{5}\text{ row is entirely zero.}}$

۴. تغییر علامت‌ها بالای سطر صفر

تا سطر $s^{6}$، آرایه (تا ضریب مقیاس مثبت) همان آزمون روث برای خارج‌قسمت است:

$Q(s)=s^{2}+2as+\left(a^{2}+b^{2}\right),$

که ضرایب آن $1,\;2a,\;a^{2}+b^{2}$ برای $a,b>0$ همگی مثبت‌اند (ریشه‌های آن $-a\pm jb$ هر دو در نیم‌صفحهٔ چپ‌اند). بنابراین

$\text{sign changes in rows } s^{8},s^{7},s^{6}:\quad 0 .$

۵. تغییر علامت‌ها پایین سطر صفر

سطر صفرِ $s^{5}$ را با ضرایب

$\frac{dA}{ds}=6s^{5}+4(c^{2}+d^{2}-a^{2})s^{3}+2(c^{2}d^{2}-a^{2}c^{2}-a^{2}d^{2})s$

جایگزین کرده و ادامه می‌دهیم. از آن نقطه به بعد، تغییر علامت‌های ستون اول تعداد ریشه‌های نیم‌صفحهٔ راست $A(s)$ را می‌شمارند. آن ریشه‌ها عبارت‌اند از $\pm jc,\ \pm jd,\ +a,\ -a$ — و دقیقاً یکی از آن‌ها، یعنی $s=+a$، در نیم‌صفحهٔ راست قرار دارد. پس

$\text{sign changes after the } s^{5}\text{ row}:\quad 1 .$

بررسی سازگاری. مجموع تغییر علامت‌ها $=0+1=1$ است که باید با تعداد قطب‌های نیم‌صفحهٔ راست $P(s)$ برابر باشد. در واقع $P$ تنها یک قطب در نیم‌صفحهٔ راست دارد، $s=+a$ (چهار قطب روی محور $j\omega$ شمرده نمی‌شوند؛ آن‌ها به‌صورت ریشه‌های چندجمله‌ای کمکی ظاهر می‌شوند که دقیقاً نشانهٔ وجود سطر صفر است). ✓

این دقیقاً همان گزارهٔ (۳) است.

۶. چرا گزینه‌های دیگر نادرست‌اند

• (۱) نادرست: محل سطر صفر نامعین نیست — با $\deg A=6$ تثبیت می‌شود و سطر $s^{5}$ را می‌دهد، و شمارش قطب‌های نیم‌صفحهٔ راست نیز محل وقوع تنها تغییر علامت را مشخص می‌کند.
• (۲) صفر شدن سطر $s^{1}$ مستلزم $\deg A=2$ است، یعنی تنها یک زوج متقارن. اینجا سه زوج وجود دارد.
• (۴) صفر شدن سطر $s^{3}$ مستلزم $\deg A=4$ است — این همان تلهٔ شمردن تنها دو زوج موهومی $\pm jc,\pm jd$ و فراموش کردن متقارن بودن $(+a,-a)$ است.

تلهٔ رایج: سطر صفر ناشی از تقارن نسبت به مبدأ است، نه از «قطب‌های روی محور $j\omega$». زوج‌های قرینهٔ حقیقی $\pm a$ (و حتی چهارتایی‌های کامل $\pm\sigma\pm j\omega$) نیز به چندجمله‌ای کمکی تعلق دارند. اینجا فراموش کردن $(s^{2}-a^{2})$ درجهٔ $\deg A$ را از ۶ به ۴ کاهش می‌دهد و سطر صفر را از $s^{5}$ به $s^{3}$ منتقل می‌کند — دقیقاً همان گزینهٔ انحرافی (۴).