پایداری راث–هورویتس: جدول، حالت‌های خاص و شمارش قطب‌ها

۱. معیار برای چیست

یک سیستم LTI پیوسته‌زمان به‌طور مجانبی پایدار است اگر و تنها اگر هر ریشهٔ چندجمله‌ای مشخصهٔ آن

$P(s)=a_n s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1 s+a_0,\qquad a_n>0,$

در نیم‌صفحهٔ چپِ باز $\operatorname{Re}\{s\}<0$ قرار داشته باشد. چنین $P$ ای را چندجمله‌ای هورویتس می‌نامند. برای یک حلقهٔ فیدبک، $P(s)$ همان صورتِ $1+G(s)H(s)$، یعنی مخرج حلقهٔ بسته است.

تجزیهٔ یک چندجمله‌ای از درجهٔ $n$ برای $n\ge 5$ به‌صورت بسته ناممکن است و وقتی ضریبی شامل پارامتر طراحی $K$ باشد اصلاً به کار نمی‌آید. معیار راث–هورویتس آزمونی کاملاً جبری است که تنها از روی ضرایب، تعداد ریشه‌های واقع در نیم‌صفحهٔ راستِ باز (RHP) را می‌دهد — بدون محاسبهٔ حتی یک ریشه. سه کاربرد استاندارد آن:

• تعیین پایداری یک $P(s)$ داده‌شده؛
• یافتن بازهٔ پارامتر $K$ (بهره، ثابت زمانی، صفر کنترل‌کننده) که به‌ازای آن حلقه پایدار است، به‌همراه بهرهٔ بحرانی و فرکانس نوسان در مرز پایداری؛
• شمارش قطب‌های RHP به‌عنوان ورودی معیار نایکوئیست، یا شمارش قطب‌های واقع در سمت راست خط $\operatorname{Re}\{s\}=-\sigma$ (پایداری نسبی).

شرط لازم (یک پیش‌آزمون رایگان). اگر $P$ هورویتس باشد، آنگاه همهٔ $a_i$ ها ناصفرند و هم‌علامت‌اند. پس نبودِ یک ضریب یا تغییر علامت $\Rightarrow$ هورویتس نیست — همان‌جا کار تمام است. عکس این حکم برای $n\ge 3$ برقرار نیست: $s^{3}+s^{2}+2s+8$ همهٔ ضرایبش مثبت است ولی دو ریشهٔ RHP دارد. (برای $n=1,2$ این شرط کافی هم هست.)

۲. جدول

با فرض $a_n>0$ (در صورت نیاز $P$ را در $-1$ ضرب کنید)، ضرایب را یک‌درمیان در دو سطر اول بنویسید، سپس هر سطر بعدی را از دو سطر بالای آن بسازید. جدول دقیقاً

$N_{\text{rows}}=n+1\quad\text{(rows labelled } s^{n},s^{n-1},\dots,s^{1},s^{0}\text{)}.$

سطر دارد.

که در آن

$b_j=\frac{a_{n-1}a_{n-2j}-a_n a_{n-2j-1}}{a_{n-1}},\qquad c_j=\frac{b_1 a_{n-2j-1}-a_{n-1}b_{j+1}}{b_1},$

یا، به شکل یکنواختِ دترمینانی (سطرهای $r_{k,\cdot}$ از بالا به پایین شماره‌گذاری می‌شوند)،

$r_{k,j}=-\frac{1}{r_{k-1,1}}\,\det\begin{pmatrix} r_{k-2,1} & r_{k-2,\,j+1}\\ r_{k-1,1} & r_{k-1,\,j+1}\end{pmatrix}.$

هر سطر یک درایه کوتاه‌تر از جفت سطر بالای خود است (با صفر پر کنید)؛ سطر آخر همواره به $a_0$ می‌رسد. هر سطر را می‌توان در یک ثابت مثبت ضرب کرد — این کار کسرها را حذف می‌کند و هیچ علامتی را تغییر نمی‌دهد، پس نتیجه را عوض نمی‌کند. هرگز در عدد منفی ضرب نکنید.

۳. قضیه

قضیهٔ راث. اگر هیچ درایه‌ای از ستون اول صفر نشود، تعداد ریشه‌های $P(s)$ با $\operatorname{Re}\{s\}>0$ برابر است با تعداد تغییر علامت‌های $V$ در ستون اول. $n-V$ ریشهٔ باقی‌مانده در نیم‌صفحهٔ چپِ باز قرار دارند و $P$ هیچ ریشه‌ای روی محور $j\omega$ ندارد. به‌طور خاص $P\ \text{Hurwitz}\iff \text{all first-column entries share one sign}\ (V=0).$

هم‌ارز آن (فرم هورویتس): $P$ هورویتس است اگر و تنها اگر همهٔ کهادهای اصلی پیشرو (کهاد‌های اصلی) ماتریس هورویتس مثبت باشند:

$\Delta_1=a_{n-1}>0,\qquad \Delta_2=\det\begin{pmatrix}a_{n-1}&a_{n-3}\\ a_n&a_{n-2}\end{pmatrix}>0,\qquad\dots,\qquad \Delta_n=a_0\Delta_{n-1}>0.$

این دو صورت‌بندی در واقع یک محاسبه‌اند: درایهٔ ستون اولِ سطر $s^{n-k}$ برابر $\Delta_{k+1}/\Delta_{k}$ است. فرم‌های بستهٔ ارزشمند برای حفظ کردن:

• $n=2$: $a_2s^{2}+a_1s+a_0$ هورویتس است $\iff a_2,a_1,a_0$ همگی $>0$ باشند.
• $n=3$: $a_3s^{3}+a_2s^{2}+a_1s+a_0$ هورویتس است $\iff$ همهٔ $a_i>0$ و $a_2a_1>a_3a_0$.
• $n=4$: همهٔ $a_i>0$ و $a_3a_2a_1>a_3^{2}a_0+a_4a_1^{2}$.

۴. روش — چگونه این مسائل را واقعاً حل کنیم

1. نرمال‌سازی. کاری کنید $a_n>0$ شود؛ اگر داده به شکل $1+G(s)H(s)=0$ است، نخست مخرج‌ها را حذف کنید تا یک چندجمله‌ای به دست آید.
2. پیش‌آزمون. نبودِ یک ضریب یا ضریبی با علامت مخالف $\Rightarrow$ ناپایدار؛ گزارش کنید و متوقف شوید. در حضور پارامتر، همین گام کران‌های لازم را می‌دهد (مثلاً $K>0$).
3. جدول را بسازید، سطر به سطر، و برای کوچک نگه‌داشتن محاسبات سطرها را در ثابت‌های مثبت ضرب کنید.
4. هر حالت تباهیده را همان لحظه که ظاهر شد برطرف کنید — یک صفر تنها در ستون اول (بند ۶، حالت A) یا یک سطر تماماً صفر (بند ۶، حالت B). هرگز «فقط ادامه ندهید».
5. ستون اول را بخوانید: $V$ تغییر علامت $=$ تعداد ریشه‌های RHP؛ پایدار $\iff V=0$ و هیچ سطر صفری وجود نداشته باشد.
6. مسائل پارامتری: لازم است همهٔ درایه‌های ستون اول هم‌زمان $>0$ باشند؛ اشتراک این شرط‌ها بازهٔ پایداری است. نقاط انتهایی آن مقادیر بحرانی‌اند — انتهایی که در آن درایهٔ سطر $s^{1}$ صفر می‌شود یک عبور از محور $j\omega$ است (نوسان پایدار)، و چندجمله‌ای کمکیِ سطر $s^{2}$، یعنی $A(s)=\beta s^{2}+a_0$، مقدار $\omega_c=\sqrt{a_0/\beta}$ را می‌دهد؛ انتهایی که در آن $a_0\to 0$ است، عبور ریشه از مبدأ است.
7. بازبینی درستی: مجموع ریشه‌ها $n$ است، و $V$ باید با هر اطلاع مستقلی که دارید سازگار باشد (نقشهٔ قطب‌ها، یا شمارش دورگیری نایکوئیست $N=Z-P$).

۵. مثال کوچک حل‌شده

مسئله. به‌ازای چه مقادیری از $K$ چندجمله‌ای $P(s)=s^{4}+3s^{3}+3s^{2}+2s+K$ هورویتس است، و در مرز چه اتفاقی می‌افتد؟

پیش‌آزمون: مثبت بودن همهٔ ضرایب $K>0$ را می‌طلبد. جدول (درایهٔ سوم سطر $s^{4}$ برابر $K$ و درایهٔ سوم سطر $s^{3}$ برابر $0$ است):

با خواستنِ ستون اولِ سراسر مثبت:

$K>0\quad\text{and}\quad 2-\tfrac{9}{7}K>0\ \Longrightarrow\ \boxed{\,0<K<\tfrac{14}{9}\,}.$

در مرز $K=K_c=\tfrac{14}{9}$ سطر $s^{1}$ صفر می‌شود، پس سطر بالای آن چندجمله‌ای کمکی است:

$A(s)=\tfrac{7}{3}s^{2}+K_c=0\ \Longrightarrow\ s^{2}=-\tfrac{3K_c}{7}=-\tfrac{2}{3}\ \Longrightarrow\ s=\pm j\sqrt{\tfrac{2}{3}} .$

یک زوج مزدوج دقیقاً روی محور $j\omega$ می‌نشیند: حلقه به‌طور مرزی پایدار است و با فرکانس $\omega_c=\sqrt{2/3}\approx 0.816\ \text{rad/s}$ نوسان می‌کند. برای $K>14/9$ درایهٔ سطر $s^{1}$ منفی می‌شود و دو تغییر علامت پدید می‌آید — آن زوج به RHP عبور کرده است. برای $K<0$ درایهٔ سطر $s^{0}$ منفی است: یک ریشهٔ حقیقی در RHP. این الگویِ «به‌دست‌آوردن $K_c$ و $\omega_c$ از دو سطر آخر» دقیقاً همان دادهٔ بهرهٔ نهایی است که در تنظیم زیگلر–نیکولز به کار می‌رود.

۶. حالت‌های خاص (سؤال‌های کنکور دقیقاً همین‌جایند)

حالت A — صفر در ستون اول، ولی بقیهٔ سطر ناصفر است

سطر بعدی بر صفر تقسیم می‌شود. سه راه‌حل استاندارد:

• روش $\varepsilon$: به‌جای $0$ مقدار کوچک $\varepsilon>0$ بگذارید، جدول را به‌صورت نمادین کامل کنید، سپس $\varepsilon\to 0^{+}$ کنید و علامت‌ها را بشمارید. در $P=s^{3}+2s^{2}+s+2$ درایهٔ سطر $s^{1}$ برابر $0\to\varepsilon$ است؛ حد نشان می‌دهد تغییر علامتی رخ نمی‌دهد ولی پایداری اکید هم نداریم — و به‌راستی $P=(s+2)(s^{2}+1)$ یک زوج $j\omega$ دارد. درایه‌هایی به شکل $\alpha-\beta/\varepsilon\to-\infty$ علامت عوض می‌کنند و آنگاه دو تغییر علامت می‌سازند، یعنی دو ریشهٔ RHP.
• چندجمله‌ای معکوس: $s^{n}P(1/s)$ را آزمایش کنید (ضرایب وارونه می‌شوند). نگاشت $s\mapsto 1/s$ نیم‌صفحه را حفظ می‌کند، پس شمار ریشه‌های RHP تغییر نمی‌کند — و تباهیدگی معمولاً از بین می‌رود.
• ضرب در $(s+c)$ با $c>0$: یک ریشهٔ معلوم در LHP اضافه می‌کند و الگو را جابه‌جا می‌سازد.

حالت B — یک سطر تماماً صفر

حالت مهم. سطر $s^{m-1}$ به‌طور یکسان صفر می‌شود اگر و تنها اگر $P(s)$ مقسوم‌علیهی ناتهی مانند $A(s)$ داشته باشد که ریشه‌هایش نسبت به مبدأ متقارن باشند — هم‌ارز با $A(-s)=A(s)$، یعنی $A$ فقط توان‌های زوج $s$ را دارد. مجموعه‌های ریشهٔ متقارن عبارت‌اند از:

روند کار:

1. سطرِ بلافاصله بالای سطر صفر — یعنی سطر $s^{m}$ — ضرایب چندجمله‌ای کمکی را در بر دارد $A(s)=\alpha_0 s^{m}+\alpha_1 s^{m-2}+\alpha_2 s^{m-4}+\cdots\qquad (m\ \text{even}),$ و $A(s)$ عاد $P(s)$ است: بنویسید $P(s)=A(s)\,Q(s)$.
2. سطر صفر را با ضرایب $\dfrac{dA}{ds}=m\alpha_0 s^{m-1}+(m-2)\alpha_1 s^{m-3}+\cdots$ جایگزین کنید و مثل همیشه ادامه دهید.
3. خواندن جدول کامل‌شده. تغییر علامت‌های بالای سطر صفر، ریشه‌های RHP خارج‌قسمت $Q(s)$ را می‌شمارند؛ تغییر علامت‌های پایین آن، ریشه‌های RHP چندجمله‌ای $A(s)$ را؛ مجموع همچنان شمار ریشه‌های RHP کل $P$ است. ریشه‌های $A$ که روی محور $j\omega$ قرار دارند هیچ تغییر علامتی تولید نمی‌کنند — در شمارش نامرئی‌اند و تنها با خودِ سطر صفر آشکار می‌شوند.
4. حسابداری سطرها. اگر $\deg A=m$ باشد، آنگاه $A$ در سطر $s^{m}$ می‌نشیند و سطر صفر، سطر $s^{m-1}$ است. برعکس، سطر صفر در $s^{k}$ یعنی عامل متقارن درجهٔ $m=k+1$ دارد؛ و چون $m$ همواره زوج است، سطر صفر تنها می‌تواند در اندیس فرد ظاهر شود ($s^{1},s^{3},s^{5},\dots$). پس شمردن زوج‌ریشه‌های متقارن نسبت به مبدأِ $P$، محل سطر صفر را دقیقاً تعیین می‌کند: $p$ زوج آینه‌ای $\Rightarrow m=2p\Rightarrow$ سطر $s^{2p-1}$ همان سطر صفر است.

مثال روشنگر. $P(s)=s^{5}+2s^{4}+3s^{3}+6s^{2}-4s-8$ را در نظر بگیرید. سطر $s^{3}$ به‌صورت $0\;\;0$ درمی‌آید، پس $A(s)=2s^{4}+6s^{2}-8$ در سطر $s^{4}$ می‌نشیند ($\deg A=4\Rightarrow$ سطر صفر در $s^{3}$ ✓). با استفاده از $A'(s)=8s^{3}+12s$ و کامل‌کردن جدول، ستون اول برابر است با $1,\;2,\;8,\;3,\;\tfrac{100}{3},\;-8$: یک تغییر علامت $\Rightarrow$ یک ریشهٔ RHP. و به‌راستی $A(s)=2(s^{2}+4)(s^{2}-1)$ و $Q(s)=s+2$، پس ریشه‌ها $\pm 2j,\;\pm 1,\;-2$ هستند — یک ریشهٔ RHP در $s=+1$، به‌علاوهٔ یک زوج $j\omega$ که سطر صفر آن را علامت زده است.

حالت C — پایداری نسبی (محور جابه‌جاشده)

برای پرسیدن این‌که «آیا همهٔ قطب‌ها سمت چپ $\operatorname{Re}\{s\}=-\sigma$ هستند؟» (حاشیهٔ زمان نشست یا میرایی)، قرار دهید $s=z-\sigma$، بر حسب $z$ بسط دهید و راث را روی چندجمله‌ای جدید اجرا کنید: اکنون تغییر علامت‌ها قطب‌های با $\operatorname{Re}\{s\}>-\sigma$ را می‌شمارند. به‌همین ترتیب $s=\dfrac{1+w}{1-w}$ (تبدیل دوخطی / تبدیل $w$) دیسک واحد را به LHP می‌نگارد و آزمون دایرهٔ واحدِ زمان‌گسسته را به یک آزمون راث تبدیل می‌کند — همان میان‌بری که پشت معیار جوری است.

حالت D — چندجمله‌ای‌های تباهیده

اگر خودِ $P$ کاملاً زوج یا کاملاً فرد باشد، سطر اول یا دوم از همان ابتدا صفر است: $A=P$ (یا $A=$ بخش زوج) را بگیرید و از گام ۲ حالت B شروع کنید. چنین $P$ ای هرگز نمی‌تواند هورویتس باشد — بنا به ساختار، ریشه‌های متقارن نسبت به مبدأ دارد.

جدول چه چیزی را می‌گوید و چه چیزی را نمی‌گوید

راث تعداد می‌دهد، نه مکان: هرگز نمی‌گوید کدام ریشه کجاست، و دربارهٔ صفرها، ضریب میرایی یا شکل پاسخ گذرا چیزی نمی‌گوید.

تلهٔ رایج: سطر تماماً صفر یعنی تقارن نسبت به مبدأ، نه «قطب روی محور $j\omega$». زوج‌های حقیقی آینه‌ای $\pm\sigma$ و چهارتایی‌های کامل $\pm\sigma\pm j\omega$ دقیقاً به همان اندازهٔ زوج‌های $\pm j\omega$ به چندجمله‌ای کمکی تعلق دارند — فراموش‌کردنشان $\deg A$ را کوچک می‌کند و سطر صفر را در $s^{k}$ نادرست می‌نشاند. ضمناً مرتبهٔ تکرار روی محور مهم است: یک زوج سادهٔ $\pm j\omega$ یعنی پایداری مرزی (نوسان پایدار)، اما یک زوج مکرر جمله‌ای از نوع $t\sin\omega t$ می‌سازد و واقعاً ناپایدار است — با این حال ستون اول در هیچ‌یک از دو حالت تغییر علامتی نشان نمی‌دهد.