سوال ۲۶ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

به دنبال یک عامل انتگرال‌ساز از شکل تک‌جمله‌ای $\mu = x^{h}y^{k}$ می‌گردیم که هر دو دیفرانسیل گروه‌بندی‌شده را همزمان کامل (دقیق) کند. دو گروه را بسط می‌دهیم.

گروه ۱. $x^3 y^3(2y\,dx + x\,dy) = 2x^{3}y^{4}\,dx + x^{4}y^{3}\,dy.$ با ضرب در $x^{h}y^{k}$ داریم $M_1 = 2x^{3+h}y^{4+k}$ و $N_1 = x^{4+h}y^{3+k}$. شرط کامل بودن $\partial M_1/\partial y = \partial N_1/\partial x$ ایجاب می‌کند که 2(4+k) = (4+h) \;\Rightarrow\; h = 4 + 2k. \tag{I}

گروه ۲. $-(5y\,dx + 7x\,dy) = -5y\,dx - 7x\,dy.$ با ضرب در $x^{h}y^{k}$ داریم $M_2 = -5x^{h}y^{1+k}$ و $N_2 = -7x^{1+h}y^{k}$. شرط کامل بودن ایجاب می‌کند که 5(1+k) = 7(1+h) \;\Rightarrow\; 5k - 7h = 2. \tag{II}

حل دستگاه. رابطهٔ (I) را در (II) جای‌گذاری می‌کنیم: $5k - 7(4 + 2k) = 2 \;\Rightarrow\; -9k = 30 \;\Rightarrow\; k = -\tfrac{10}{3},\qquad h = 4 + 2\!\left(-\tfrac{10}{3}\right) = -\tfrac{8}{3}.$

بنابراین $\mu = x^{-8/3}\,y^{-10/3}.$

تطبیق با گزینه‌ها. می‌نویسیم $\dfrac{1}{(xy)^3} = x^{-3}y^{-3}$ و $\mu$ را تجزیه می‌کنیم: $x^{-8/3}y^{-10/3} = x^{-3}y^{-3}\cdot x^{1/3}y^{-1/3} = \frac{1}{(xy)^3}\left(\frac{x}{y}\right)^{1/3} = \frac{1}{(xy)^3}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}.$

این دقیقاً گزینهٔ ۴ است. (بررسی سایر گزینه‌ها: گزینهٔ ۱ $\to x^{-11/3}y^{-7/3}$، گزینهٔ ۲ $\to x^{-7/3}y^{-11/3}$، گزینهٔ ۳ $\to x^{-10/3}y^{-8/3}$ — هیچ‌کدام دستگاه شرط کامل بودن را برآورده نمی‌کنند.)

نکتهٔ کنکوری: برای معادله‌ای که از گروه‌های $x^{p}y^{q}(m\,y\,dx + n\,x\,dy)$ ساخته شده، $\mu = x^{h}y^{k}$ را امتحان کنید و شرط کامل بودن را روی هر گروه به‌طور جداگانه اعمال کنید — هر گروه یک معادلهٔ خطی $m(q+k+1) = n(p+h+1)$ می‌دهد. دو گروه دو معادله برای $(h,k)$ می‌دهند؛ آن‌ها را حل کنید و عامل انتگرال‌ساز را بخوانید.