سوال ۲۷ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

آماده‌سازی: مسیرهای متعامد

دو خانواده از منحنی‌ها زمانی مسیرهای متعامد یکدیگرند که در هر نقطهٔ تقاطع، شیب‌هایشان معکوس قرینهٔ هم باشند. بنابراین راهبرد چنین است: میدان شیب $y'$ خانوادهٔ داده‌شده را بیابیم، آن را با $-1/y'$ جایگزین کنیم و معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اولِ حاصل را حل کنیم. سپس جواب عمومی باید با خانوادهٔ دیگر منطبق شود و ثابت مجهول $k$ را مشخص کند.

میدان شیب خانوادهٔ داده‌شده

از خانوادهٔ داده‌شده آغاز می‌کنیم و به‌طور ضمنی نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم (پارامتر $c_2$ حذف می‌شود):

$\ln x + 2y^2 - y = c_2 \;\;\Rightarrow\;\; \frac{1}{x} + 4y\,y' - y' = 0.$

برای شیب حل می‌کنیم:

$y'(4y - 1) = -\frac{1}{x} \;\;\Rightarrow\;\; y'_{\text{given}} = \frac{-1}{x(4y - 1)}.$

شیب متعامد و جداسازی متغیرها

شیب را با معکوس قرینه‌اش جایگزین می‌کنیم تا معادلهٔ دیفرانسیل خانوادهٔ متعامد به دست آید:

$y' = -\frac{1}{y'_{\text{given}}} = x(4y - 1).$

این معادله جداشدنی است:

$\frac{dy}{4y - 1} = x\,dx.$

با انتگرال‌گیری از دو طرف:

$\frac{1}{4}\ln|4y - 1| = \frac{x^{2}}{2} + C \;\;\Rightarrow\;\; \ln|4y - 1| = 2x^{2} + C'.$

نمایی می‌کنیم:

$4y - 1 = B\,e^{2x^{2}} \;\;\Rightarrow\;\; y = \frac{1}{4} + \frac{B}{4}\,e^{2x^{2}}.$

انطباق با خانوادهٔ هدف و خواندن $k$

نتیجه را به شکل خانوادهٔ اول می‌نویسیم، با $c_1 = B/4$:

$y - c_1\,e^{2x^{2}} = \frac{1}{4}.$

مقایسهٔ جمله‌به‌جمله با $\,y - c_1 e^{2x^{2}} = k\,$ می‌دهد

$\boxed{k = \frac{1}{4}}.$

این گزینهٔ ۲ است.

نکتهٔ کنکوری: برای مسیرهای متعامد هرگز به ثابت دلخواه خانوادهٔ داده‌شده نیاز ندارید — با مشتق‌گیری آن را حذف کنید، شیب را به $-1/y'$ برگردانید و سپس حل کنید. در اینجا ثابت جمع‌شونده‌ای که پس از انتگرال‌گیری باقی می‌ماند ($\tfrac14$) دقیقاً همان $k$ خواسته‌شده است؛ ثابت ضرب‌شونده به پارامتر آزاد $c_1$ تبدیل می‌شود.