معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اول: جداشدنی، خطی، کامل و ریکاتی

۱. ایدهٔ اصلی

یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی مرتبهٔ اول رابطه‌ای میان $x$، $y$ و مشتق اول $y' = \dfrac{dy}{dx}$ است. در صورت دیفرانسیلیِ ضمنی به شکل زیر نوشته می‌شود

$M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,$

و حل‌کردن آن یعنی یافتن یک خانوادهٔ یک‌پارامتری $F(x,y) = c$ که اعضایش در همه‌جا شیب تعیین‌شده را داشته باشند. تقریباً هر مسئلهٔ مرتبهٔ اول در آزمون ورودی یکی از چند نوع قابل‌تشخیص است — جداشدنی، خطی، کامل، کامل‌شده با یک عامل انتگرال‌ساز، یا تبدیل‌شده به یکی از این‌ها با یک تغییر متغیر (برنولی، همگن، ریکاتی). تمام کار این است که نوع معادله را از روی شکل $M$ و $N$ تشخیص دهید و سپس یک دستورالعمل ثابت را اجرا کنید. همین روش‌ها پایهٔ کاربردهای کلاسیکی مانند مسیرهای متعامد، رشد و زوال، مخزن‌های اختلاط و حالت گذرای مدارهای RC/RL هستند.

۲. فرمول‌های کلیدی

جداشدنی. اگر معادله را بتوان به صورت $\;g(y)\,dy = f(x)\,dx$ نوشت، از هر طرف انتگرال بگیرید:

$\int g(y)\,dy = \int f(x)\,dx + c.$

خطی. برای $\;y' + P(x)\,y = Q(x)$، عامل انتگرال‌ساز برابر است با

$\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}, \qquad \frac{d}{dx}\!\big(\mu\,y\big) = \mu\,Q \;\Rightarrow\; y = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)\,Q(x)\,dx + c\right).$

کامل. معادلهٔ $M\,dx + N\,dy = 0$ روی یک ناحیهٔ همبند ساده کامل است اگر و تنها اگر

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},$

که در این صورت تابع پتانسیلی مانند $F$ با $F_x = M$، $F_y = N$ وجود دارد و جواب $F(x,y) = c$ است.

عامل انتگرال‌ساز برای معادلات غیرکامل. اگر $\dfrac{M_y - N_x}{N}$ فقط به $x$ وابسته باشد، آنگاه $\mu(x) = e^{\int \frac{M_y - N_x}{N}\,dx}$؛ اگر $\dfrac{N_x - M_y}{M}$ فقط به $y$ وابسته باشد، آنگاه $\mu(y) = e^{\int \frac{N_x - M_y}{M}\,dy}$.

۳. روش (درخت تصمیم)

1. معادله را به صورت دیفرانسیلی $M\,dx + N\,dy = 0$ بنویسید و ببینید آیا متغیرها جدا می‌شوند. اگر $M$ حاصل‌ضرب تابعی از $x$ در تابعی از $y$ باشد (و $N$ نیز همین‌طور)، جدا کنید و انتگرال بگیرید — این سریع‌ترین راه است.
2. آیا نسبت به $y$ خطی است؟ اگر $y' + P(x)y = Q(x)$، در $\mu = e^{\int P\,dx}$ ضرب کنید؛ طرف چپ به $(\mu y)'$ تبدیل می‌شود و یک بار انتگرال می‌گیرید. (نسبت به $x$ خطی است؟ نقش‌ها را عوض کنید: $x$ را مجهول بگیرید، $\dfrac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$.)
3. کامل‌بودن را بیازمایید $M_y \stackrel{?}{=} N_x$. اگر برابر بودند، $F$ را با انتگرال‌گیری از $M$ نسبت به $x$ به دست آورید و سپس جملهٔ وابسته به $y$ تنها را از $F_y = N$ تعیین کنید.
4. کامل نیست؟ به دنبال یک عامل انتگرال‌ساز بگردید: $\mu(x)$ یا $\mu(y)$ را با فرمول‌های بالا امتحان کنید، یا — وقتی معادله از گروه‌های تک‌جمله‌ای ساخته شده است — حدس $\mu = x^h y^k$ را در نظر بگیرید و شرط $M_y = N_x$ را اعمال کنید تا $(h,k)$ به دست آید.
5. نسبت به $y$ غیرخطی است؟ به دنبال یک تغییر متغیر خطی‌ساز باشید: یک توان تنهای $y^n$ در طرف راست یعنی برنولی ($v = y^{1-n}$)؛ طرف راستی که فقط به $y/x$ وابسته است یعنی همگن ($v = y/x$)؛ طرف راستی که یک درجهٔ دوم کامل بر حسب $y$ است (جمله‌هایی با $1$، $y$ و $y^2$) یعنی ریکاتی — این حالت به یک جواب معلوم $y_1$ نیاز دارد و سپس $y = y_1 + \dfrac{1}{u}$ (بخش ۶).
6. انتگرال بگیرید، سپس ثابت را بازگردانید و اگر شرط اولیه داده شده است، $c$ را محاسبه کنید.

۴. مثال حل‌شدهٔ کوتاه

معادلهٔ $\;(3x^2 y + 2xy)\,dx + (x^3 + x^2 + 2y)\,dy = 0$ را حل کنید.

در اینجا $M = 3x^2y + 2xy$ و $N = x^3 + x^2 + 2y$. کامل‌بودن را بررسی می‌کنیم:

$M_y = 3x^2 + 2x, \qquad N_x = 3x^2 + 2x. \qquad M_y = N_x \;\checkmark$

پس معادله کامل است. از $M$ نسبت به $x$ انتگرال می‌گیریم:

$F = \int (3x^2y + 2xy)\,dx = x^3 y + x^2 y + h(y).$

نسبت به $y$ مشتق می‌گیریم و با $N$ برابر قرار می‌دهیم:

$F_y = x^3 + x^2 + h'(y) \;=\; x^3 + x^2 + 2y \;\Rightarrow\; h'(y) = 2y \;\Rightarrow\; h(y) = y^2.$

جواب ضمنی برابر است با

$x^3 y + x^2 y + y^2 = c.$

۵. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

• برنولی $\;y' + P(x)y = Q(x)\,y^n$: با تغییر متغیر $v = y^{1-n}$ معادله خطی می‌شود و به $v' + (1-n)P\,v = (1-n)Q$ می‌رسد.
• همگن (درجهٔ صفر) $\;y' = f(y/x)$: قرار دهید $v = y/x$ که معادلهٔ جداشدنی $x\,v' = f(v) - v$ را می‌دهد.
• عامل انتگرال‌ساز تک‌جمله‌ای $\mu = x^h y^k$: برای معادلاتی که از گروه‌های $x^p y^q(m\,y\,dx + n\,x\,dy)$ ساخته شده‌اند، اعمال شرط کامل‌بودن بر هر گروه یک معادلهٔ خطی $m(q+k+1) = n(p+h+1)$ می‌دهد؛ چند گروه یک دستگاه خطی برای $(h,k)$ می‌دهند.
• مسیرهای متعامد: برای یافتن منحنی‌هایی که یک خانوادهٔ $F(x,y)=c$ را با زاویهٔ قائمه قطع می‌کنند، مشتق بگیرید تا شیب خانواده یعنی $y'$ به دست آید، آن را با $-1/y'$ جایگزین کنید و معادلهٔ مرتبهٔ اول حاصل (که اغلب جداشدنی است) را حل کنید. در مسیرهای هم‌زاویه به‌جای $-1/y'$، $\tan\theta$ چرخیده به‌اندازهٔ یک زاویهٔ ثابت قرار می‌گیرد.
• تشخیص صورت‌های کامل: دیفرانسیل‌های کامل $d(xy) = y\,dx + x\,dy$، $\;d\!\left(\dfrac{y}{x}\right) = \dfrac{x\,dy - y\,dx}{x^2}$، $\;d\!\left(\ln\dfrac{y}{x}\right) = \dfrac{x\,dy - y\,dx}{xy}$ را به خاطر بسپارید — با آن‌ها می‌توان عامل انتگرال‌ساز را با یک نگاه تشخیص داد.

۶. معادلات ریکاتی — کاهش با یک جواب معلوم

معادلهٔ ریکاتی یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اول است که طرف راست آن یک چندجمله‌ای درجهٔ دوم بر حسب $y$ با ضرایب وابسته به $x$ است:

اگر $q_0 \equiv 0$ باشد، معادله صرفاً یک معادلهٔ برنولی با $n = 2$ است؛ اگر $q_2 \equiv 0$ باشد، خطی است. با حضور هر سه جمله، معادله در حالت کلی با انتگرال‌گیری قابل حل نیست — اما به‌محض آنکه یک جواب خصوصی $y_1(x)$ معلوم باشد، جواب عمومی از یک معادلهٔ خطی تنها به دست می‌آید.

قضیه (کاهش به معادلهٔ خطی). فرض کنید $y_1$ در معادلهٔ ریکاتی صدق کند. تغییر متغیر

آن را به معادلهٔ خطی مرتبهٔ اول زیر تبدیل می‌کند

چرا. با مشتق‌گیری داریم $y' = y_1' - \dfrac{u'}{u^{2}}$. با بسط طرف راست،

و سه جملهٔ اول برابر $y_1'$ هستند، زیرا $y_1$ یک جواب است. آنچه باقی می‌ماند $-\dfrac{u'}{u^{2}} = \dfrac{q_1 + 2q_2y_1}{u} + \dfrac{q_2}{u^{2}}$ است؛ ضرب در $-u^{2}$ معادلهٔ خطی بالا را می‌دهد.

راه معادل (برنولی). اگر به‌جای آن بنویسیم $y = y_1 + v$، خواهیم داشت

که یک معادلهٔ برنولی با $n = 2$ است و تغییر متغیر استاندارد آن $u = v^{-1}$ دقیقاً همان تغییر متغیر بالاست. هر کدام را که به خاطر دارید به کار ببرید؛ جواب یکی است.

روش.

1. معادله را به صورت $y' = q_0 + q_1 y + q_2 y^{2}$ بازنویسی کنید و $q_1$ و $q_2$ را همراه با علامتشان بخوانید.
2. $y_1$ را به دست آورید: یا داده شده است، یا با امتحان‌کردن شکل‌های ساده — یک ثابت، $a x$، $\dfrac{a}{x}$، $a x^{k}$، $a e^{kx}$ — و حل برای $a$ پیدا می‌شود.
3. ضریب $q_1 + 2q_2 y_1$ را تشکیل دهید و $u' + (q_1 + 2q_2y_1)\,u = -q_2$ را با عامل انتگرال‌ساز $\mu = e^{\int (q_1 + 2q_2 y_1)\,dx}$ حل کنید.
4. بنویسید $y = y_1 + \dfrac{1}{u}$. ثابت دلخواه درون مخرج قرار دارد.

مثال حل‌شدهٔ کوتاه. معادلهٔ $\;y' = y^{2} - \dfrac{y}{x} - \dfrac{1}{x^{2}}$ را برای $x > 0$ حل کنید.

در اینجا $q_0 = -\dfrac{1}{x^{2}}$، $q_1 = -\dfrac{1}{x}$، $q_2 = 1$. $y_1 = \dfrac{a}{x}$ را امتحان می‌کنیم: معادله به $-\dfrac{a}{x^{2}} = \dfrac{a^{2} - a - 1}{x^{2}}$ تبدیل می‌شود، پس $a^{2} = 1$؛ $y_1 = \dfrac{1}{x}$ را برمی‌گزینیم. آنگاه

عامل انتگرال‌ساز $\mu = x$ است:

جواب عمومی برابر است با

وارسی. با $v = \dfrac{2x}{C - x^{2}}$: $v' = \dfrac{2C + 2x^{2}}{(C - x^{2})^{2}}$، و $\dfrac{v}{x} + v^{2} = \dfrac{2(C - x^{2}) + 4x^{2}}{(C - x^{2})^{2}}$ — همان مقدار. (ریشهٔ دیگر $a = -1$ جواب $y = -\dfrac{1}{x}$ را می‌دهد که عضو $C = 0$ همین خانواده است.)

نکته‌های بیشتر.

• جواب معلوم به‌ازای $c$ متناهی در خانواده نیست. $y = y_1$ متناظر با $u \to \infty$ است (ثابت به بی‌نهایت میل می‌کند)؛ فرمول $y_1 + \dfrac{1}{u}$ همهٔ جواب‌های دیگر را می‌دهد.
• دو جواب معلوم $y_1, y_2$: جواب عمومی تنها به یک انتگرال‌گیری نیاز دارد، $\dfrac{y - y_1}{y - y_2} = c\,e^{\int q_2\,(y_1 - y_2)\,dx}$.
• ارتباط با معادلات خطی مرتبهٔ دوم: تغییر متغیر $y = -\dfrac{w'}{q_2\,w}$ معادلهٔ ریکاتی را به $w'' - \left(q_1 + \dfrac{q_2'}{q_2}\right)w' + q_0\,q_2\,w = 0$ تبدیل می‌کند. با ضرایب ثابت، این روش معادلهٔ ریکاتی را بدون نیاز به هیچ جواب خصوصی حل می‌کند.
• ضرایب ثابت: $y' = a + b\,y + c\,y^{2}$ جداشدنی است و ریشه‌های $a + b\,y + c\,y^{2} = 0$ جواب‌های خصوصی ثابت هستند.

تلهٔ رایج: علامت $q_2$ همان جایی است که مسئله‌های ریکاتی از دست می‌روند. ابتدا همهٔ جمله‌ها را به طرف راست ببرید؛ جمله‌ای که به صورت $-y^{2}$ نوشته شده یعنی $q_2 = -1$، پس طرف راست معادلهٔ خطی $-q_2 = +1$ و ضریب آن $q_1 - 2y_1$ است. همچنین جواب را به صورت $y = y_1 + u$ ندهید: جملهٔ تصحیح وارونِ جواب معادلهٔ خطی است.

نکتهٔ کنکوری: پیش از محاسبهٔ طولانی، نوع معادله را مشخص کنید. کامل‌بودن با بررسی دو مشتق ($M_y$ در برابر $N_x$) سنجیده می‌شود که چند ثانیه وقت می‌گیرد و فوراً نشان می‌دهد باید از یک تابع پتانسیل انتگرال بگیرید یا به دنبال عامل انتگرال‌ساز باشید. وقتی یک عامل پیشنهادی داده شده است (مانند سؤال‌های چهارگزینه‌ای)، از ابتدا استخراج نکنید — در معادله ضرب کنید و $M_y = N_x$ را بررسی کنید (یا هر گزینه را به شکل $x^h y^k$ درآورید و دستگاه کامل‌بودن را بیازمایید)؛ گزینه‌ای که معادله را کامل می‌کند پاسخ است. برای معادلهٔ ریکاتی با جواب دادهٔ $y_1$، گزینهٔ درست باید شکل $y_1 + \dfrac{1}{u(x)}$ را با ثابت درون $u$ داشته باشد، که در آن $u$ در $u' + (q_1 + 2q_2y_1)u = -q_2$ صدق می‌کند — همین شکل به‌تنهایی اغلب نیمی از گزینه‌ها را حذف می‌کند.