سوال ۲۶ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

تشخیص نوع معادله

معادلهٔ دیفرانسیل به‌صورت صریح بر حسب $y$ و بر پایهٔ $x$ و $p = y'$ حل شده است:

این یک معادلهٔ لاگرانژ (دالامبر) است. چون $f(p) = p^{2} \not\equiv p$، معادله از نوع کلرو نیست و دستور استاندارد به کار می‌رود: نسبت به $x$ مشتق بگیرید، سپس $p$ را متغیر مستقل و $x$ را تابع مجهول $x(p)$ در نظر بگیرید.

مشتق‌گیری نسبت به $x$

با $y' = p$ و $p = p(x)$ داریم:

جمله‌های شامل $\dfrac{dp}{dx}$ را دسته‌بندی می‌کنیم:

وارون‌سازی: یک معادلهٔ دیفرانسیل برای $x(p)$

چون $p \ne 0$ و $p \ne 1$، سمت چپ ناصفر است و می‌توانیم مشتق را وارون کنیم:

بر $p \ne 0$ تقسیم می‌کنیم:

این یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی مرتبهٔ اول بر حسب $x(p)$ است.

عامل انتگرال‌ساز

با ضرب کردن دو طرف در آن:

انتگرال‌گیری

چون $(1-p)^{2} = (p-1)^{2}$، داریم:

بررسی

یک وارسی سریع برای معادلهٔ خطی، مثلاً روی شاخهٔ جواب خاص $c = 0$: $x = \dfrac{p^{2}(3-2p)}{2(p-1)^{2}}$. با مشتق‌گیری و جای‌گذاری، رابطهٔ $(1-p)x' - 2x = 3p$ بازتولید می‌شود که درستی عامل انتگرال‌ساز و علامت جملهٔ $p^{3}$ را تأیید می‌کند.

این نتیجه با گزینهٔ ۱ مطابقت دارد و با کلید رسمی آزمون هم‌خوان است.

نکتهٔ کنکوری: در معادلهٔ $y = x f(p) + g(p)$ (لاگرانژ) هرگز نکوشید مستقیماً $y(x)$ را به دست آورید؛ یک بار مشتق بگیرید و سپس با وارون‌سازی به $\frac{dx}{dp}$ برسید. نتیجه همواره نسبت به $x$ خطی است، بنابراین یک عامل انتگرال‌ساز کار را تمام می‌کند. مقادیر کنارگذاشته‌شدهٔ $p \ne 0, 1$ دقیقاً ریشه‌های $f(p) - p = p^{2} - p$ هستند، یعنی همان جواب‌های تکین/خط‌راست که پیش از وارون‌سازی باید کنار گذاشته شوند.