سوال ۲۷ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

۱. تحمیل شرط کامل‌بودن (exact) — یافتن $A$

فرم خواسته‌شده را با قاعدهٔ ضرب باز می‌کنیم:

$\frac{d}{dx}\big(p y' + q y\big) = p\,y'' + \big(p' + q\big)y' + q'\,y .$

ضرایب را با $y'' + 2xy' + Ay$ مقایسه می‌کنیم:

پس معادله دقیقاً وقتی کامل است که $A = 2$ باشد (آزمون استاندارد کامل‌بودن برای $y'' + P y' + Q y = r$ همان $Q = P'$ است و به‌راستی $(2x)' = 2$).

۲. انتگرال‌گیری نخست — کاهش یک مرتبه‌ای

با $p = 1$، $q = 2x$ و $r(x) = 2xe^{-x^{2}}$ داریم:

(با تغییر متغیر $u = -x^{2}$ و $du = -2x\,dx$.)

۳. انتگرال‌گیری دوم — یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی مرتبهٔ اول

معادلهٔ باقی‌مانده $y' + 2xy = -e^{-x^{2}} + c_1$ خطی است و عامل انتگرال‌ساز آن برابر است با

$\mu(x) = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^{2}} .$

با ضرب دو طرف در آن،

$\big(e^{x^{2}}y\big)' = e^{x^{2}}\left(-e^{-x^{2}} + c_1\right) = -1 + c_1 e^{x^{2}} .$

یک بار دیگر انتگرال می‌گیریم:

با تغییر نام ثابت‌های دلخواه ($c_2 \to c_1$ و $c_1 \to c_2$) دقیقاً به

$\boxed{\,y(x) = (-x + c_1)e^{-x^{2}} + c_2 e^{-x^{2}}\int e^{x^{2}}dx\,}$

می‌رسیم که همان گزینهٔ ۴ است.

۴. وارسی ساختار جواب

بخش همگن $y'' + 2xy' + 2y = 0$ نیز کامل است: $\frac{d}{dx}(y' + 2xy) = 0 \Rightarrow y' + 2xy = c \Rightarrow y_h = c_1 e^{-x^{2}} + c_2 e^{-x^{2}}\int e^{x^{2}}dx$ — یعنی همان دو جواب همگنی که در همهٔ گزینه‌ها دیده می‌شود. جواب خصوصی، جملهٔ اضافی $y_p = -x e^{-x^{2}}$ است؛ آن را مستقیماً بررسی می‌کنیم:

$y_p' = (2x^{2}-1)e^{-x^{2}},\qquad y_p'' = (6x - 4x^{3})e^{-x^{2}},$ $y_p'' + 2xy_p' + 2y_p = \big(6x - 4x^{3} + 4x^{3} - 2x - 2x\big)e^{-x^{2}} = 2xe^{-x^{2}}\;\checkmark$

تلهٔ رایج: گزینه‌های ۳ و ۴ فقط در علامت جملهٔ $x$ با هم فرق دارند. این علامت از $\int 2xe^{-x^{2}}dx = -e^{-x^{2}}$ (منفی!) می‌آید که پس از ضرب در $e^{x^{2}}$ به $-x$ انتگرال‌گیری می‌شود. فراموش‌کردن علامت منفی در تغییر متغیر $u$ شما را به گزینهٔ انحرافی ۳ می‌برد.