سوال ۴۲ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

گام ۱ — خواندن شکل‌موج‌های پایانه‌ای

هر دو نمودار خط راست‌اند، پس شیب و عرض از مبدأ را مستقیماً می‌خوانیم.

جریان: از نقاط $(t,i)=(-2,0)$ و $(0,4)$ می‌گذرد:

$i(t)=\frac{4-0}{0-(-2)}\,(t+2)=2t+4\ \text{A}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{di}{dt}=2\ \text{A/s}$

ولتاژ: از نقاط $(-1,0)$ و $(0,1)$ می‌گذرد:

$v(t)=t+1\ \text{V}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{dv}{dt}=1\ \text{V/s}$

یک مدل تنها زمانی مناسب است که با ورود جریان $i$ به پایانهٔ $a$ طبق قرارداد علامت پسیو، هر دو شکل‌موج را هم‌زمان بازتولید کند. پس دو تابع شیب‌دار (رمپ) را در رابطهٔ پایانه‌ای هر گزینه جای‌گذاری می‌کنیم.

گام ۲ — گزینهٔ ۱: $0.5\ \Omega \parallel 2\ \text{F}$

KCL در درگاه:

$i=\frac{v}{R}+C\frac{dv}{dt}=\frac{t+1}{0.5}+2(1)=2t+2+2=2t+4\ \checkmark$

با $i(t)=2t+4$ سازگار است. مدل معتبر.

گام ۳ — گزینهٔ ۲: $0.5\ \Omega + 0.5\ \text{H} + 2\ \text{V}$ به‌صورت سری

KVL از $a$ به $b$ (منبع با پایانهٔ $-$ خود رو به سلف رسم شده است، پس $-2\ \text{V}$ وارد رابطه می‌شود):

$v=Ri+L\frac{di}{dt}-2=0.5(2t+4)+0.5(2)-2=(t+2)+1-2=t+1\ \checkmark$

با $v(t)=t+1$ سازگار است. مدل معتبر.

گام ۴ — گزینهٔ ۳: $0.5\ \Omega \parallel 2\ \text{A}$ (منبع جریان)

KCL در گرهٔ $a$، با پیکان منبع از $a$ به سمت $b$ (جریان $2\ \text{A}$ رو به پایین که از سمت درگاه تأمین می‌شود):

$i=\frac{v}{R}+2=\frac{t+1}{0.5}+2=2t+2+2=2t+4\ \checkmark$

مدل معتبر. (گزینه‌های ۱ و ۳ در واقع فرم‌های نورتنی هستند؛ توجه کنید که $R=0.5\ \Omega$ در هر چهار گزینه مشترک است، زیرا $v-Ri$ باید ثابت به‌علاوهٔ رمپ و سازگار با یک عنصر ذخیره‌ساز باشد.)

گام ۵ — گزینهٔ ۴: $0.5\ \Omega + 2\ \text{H}$ به‌صورت سری

$v=Ri+L\frac{di}{dt}=0.5(2t+4)+2(2)=(t+2)+4=t+6\ \text{V}$

اما ولتاژ اندازه‌گیری‌شدهٔ پایانه‌ها $v(t)=t+1\ \text{V}$ است:

$t+6\neq t+1\quad\text{for every }t$

شیب درست است ($1\ \text{V/s}$ که با $R$ و $di/dt$ تعیین می‌شود)، اما جملهٔ ثابت به اندازهٔ $5\ \text{V}$ خطا دارد — سلف $2\ \text{H}$ مقدار $L\,di/dt=4\ \text{V}$ تزریق می‌کند به‌جای $1\ \text{V}$ که سلف $0.5\ \text{H}$ می‌داد، و هیچ منبعی هم نیست که این اختلاف را جبران کند. مدل معتبر نیست.

$\boxed{\text{Option 4}}$

نکتهٔ کنکوری: هرگز نکوشید ساختار درونی $N$ را شناسایی کنید — یک تک‌درگاه فقط با رابطهٔ پایانه‌ای $v$–$i$ خود مشخص می‌شود و بی‌نهایت شبکه در آن مشترک‌اند. $i(t)$ و $v(t)$ را از نمودارها استخراج کنید و در قانون عنصری هر گزینه بگذارید؛ گزینهٔ نادرست همان است که معادله‌اش برای همهٔ مقادیر $t$ اتحاد نمی‌شود. مقایسهٔ جداگانهٔ جمله‌های ثابت و شیب‌ها مقصر را در یک سطر پیدا می‌کند.