تِوِنن، نورتن، برهم‌نهی و انتقال توان بیشینه

چهار قضیهٔ پرکاربرد برای شبکه‌های خطی یک‌درگاهی — معادل‌های تِوِنن/نورتن، برهم‌نهی، و شرط تطبیق بار برای انتقال توان بیشینه — به‌همراه روش منبع آزمون که در حضور منابع وابسته الزامی است.

کارت مفهوم کنکور ارشد مهندسی برق

اهمیت

۰/۵

۱. ایدهٔ اصلی و دامنهٔ کاربرد

یک قضیهٔ شبکه یا یک شبکهٔ خطیِ دوسر (یک‌درگاهی) پیچیده را با یک معادل به‌غایت ساده جایگزین می‌کند، یا از خطی بودن بهره می‌گیرد تا یک مسئلهٔ دشوار را به تکه‌های ساده بشکند. این قضایا برای هر مداری که از عناصر خطی ساخته شده باشد برقرارند: مقاومت‌ها (یا امپدانس‌های $Z$ در حالت ماندگار AC)، منابع وابستهٔ خطی، و منابع مستقل. این قضایا به‌محض ظاهر شدن یک عنصر واقعاً غیرخطی (دیود در ناحیهٔ منحنی‌اش، یک ضرب‌کننده، یک مربع‌کننده) از کار می‌افتند.

چهار نتیجه تقریباً همهٔ کار را انجام می‌دهند:

قضیه	بیان
تِوِنن	هر شبکهٔ خطی یک‌درگاهی $\equiv$ منبع ولتاژ ایده‌آل $V_{th}$ به‌صورت سری با $R_{th}$ (یا $Z_{th}$ ).
نورتن	همان شبکهٔ یک‌درگاهی $\equiv$ منبع جریان ایده‌آل $I_N$ به‌صورت موازی با $R_{th}$ .
برهم‌نهی	در یک مدار خطی، هر ولتاژ/جریان مجموع مقادیر آن هنگامی است که هر منبع مستقل به‌تنهایی عمل کند (بقیه غیرفعال شوند).
انتقال توان بیشینه	باری که بیشترین توان را از منبع می‌کشد با منبع تطبیق یافته است: $R_L=R_{th}$ (DC) یا $Z_L=Z_{th}^{*}$ (AC).

تِوِنن و نورتن از طریق یک تبدیل منبع به هم مرتبط‌اند: $V_{th}=I_N\,R_{th}$ و هر دو $R_{th}$ یکسانی دارند.

۲. فرمول‌های کلیدی

ولتاژ مدارباز، جریان اتصال‌کوتاه، و مقاومت معادل از روابط زیر پیروی می‌کنند

V_{th}=V_{oc},\qquad I_N=I_{sc},\qquad R_{th}=\frac{V_{oc}}{I_{sc}}.

هنگامی که منابع وابسته حضور دارند، $R_{th}$ با یک منبع آزمون به‌دست می‌آید (فقط منابع مستقل را غیرفعال کنید، درگاه را تحریک کنید، نسبت را بگیرید):

R_{th}=\frac{V_{test}}{I_{test}}.

شرط توان بیشینه و توان تحویل‌داده‌شده در حالت تطبیق:

R_L=R_{th}\ \Rightarrow\ P_{max}=\frac{V_{th}^{2}}{4R_{th}},\qquad Z_L=Z_{th}^{*}\ \Rightarrow\ P_{max}=\frac{|V_{th}|^{2}}{8\,\mathrm{Re}\{Z_{th}\}}.

(شکل AC از فِیزورهای دامنه استفاده می‌کند؛ اگر $V_{th}$ یک فِیزور RMS باشد، ضریب $8$ به $4$ تبدیل می‌شود.)

۳. روش — ساختن معادل تِوِنن/نورتن در دو سر a–b

۱. درگاه a–b را مشخص کنید و باری را (اگر وجود دارد) که قصد جایگزینی یا تغییرش را دارید بردارید. ۲. ولتاژ مدارباز $V_{th}=V_{oc}$ : مدار را با a–b باز حل کنید (تحلیل گره/مش) و ولتاژ دو سر a–b را بخوانید. ۳. مقاومت معادل $R_{th}$ — مسیر درست را انتخاب کنید:

فقط منابع مستقل: آن‌ها را غیرفعال کنید — هر منبع ولتاژ مستقل را با اتصال‌کوتاه و هر منبع جریان مستقل را با مدارباز جایگزین کنید — سپس شبکهٔ مقاومتی باقی‌مانده را با سری/موازی (و در صورت لزوم $\Delta$ –Y) ساده کنید.
حضور هر منبع وابسته: نمی‌توانید با بازرسی ساده کنید. فقط منابع مستقل را غیرفعال کنید (منابع وابسته فعال می‌مانند)، یک منبع آزمون ( $1\,\text{V}$ یا $1\,\text{A}$ ) در a–b اعمال کنید، یک KCL/KVL حل کنید، و $R_{th}=V_{test}/I_{test}$ را بگیرید.
روش جایگزین (همیشه معتبر): $R_{th}=V_{oc}/I_{sc}$ را از دو تحریک منبع محاسبه کنید — وقتی هر دو آسان‌اند مفید است، اما اگر درگاه فاقد منبع باشد ( $V_{oc}=I_{sc}=0$ ) نامعین است، جایی که منبع آزمون تنها گزینه است. ۴. نورتن در صورت نیاز: $I_N=I_{sc}$ ، همان $R_{th}$ ، آن‌ها را موازی بگذارید. ۵. توان بیشینه / هر بار: بار را به مدل تِوِنن وصل کنید — یک مقسّم ولتاژ ساده — و بهینه یا ارزیابی کنید.

برای برهم‌نهی: هر بار یک منبع مستقل را روشن کنید (بقیهٔ منابع ولتاژ را اتصال‌کوتاه، بقیهٔ منابع جریان را مدارباز کنید — اما هرگز یک منبع وابسته را غیرفعال نکنید)، زیرمدار ساده را حل کنید، و پاسخ‌های جزئی را با هم جمع کنید.

۴. مثال کوچک حل‌شده (ساختگی)

یک شبکه در دو سر پایانه‌های a–b یک منبع $18\,\text{V}$ به‌صورت سری با $6\,\Omega$ ، و یک مقاومت $12\,\Omega$ متصل به a–b را ارائه می‌دهد.

ولتاژ تِوِنن (a–b باز، پس $6\,\Omega$ و $12\,\Omega$ یک مقسّم تشکیل می‌دهند):

V_{th}=18\cdot\frac{12}{6+12}=12\,\text{V}.

مقاومت تِوِنن (فقط یک منبع مستقل: آن را اتصال‌کوتاه کنید، از a–b به داخل نگاه کنید):

R_{th}=6\,\Omega\parallel 12\,\Omega=\frac{6\cdot 12}{6+12}=4\,\Omega.

انتقال توان بیشینه: $R_L=R_{th}=4\,\Omega$ را انتخاب کنید. آنگاه

P_{max}=\frac{V_{th}^{2}}{4R_{th}}=\frac{12^{2}}{4\cdot 4}=9\,\text{W},

در بار تطبیق‌یافته تحویل داده می‌شود؛ منبع به‌طور داخلی همان $9\,\text{W}$ را تلف می‌کند، پس بازده در حالت تطبیق تنها $50\%$ است — تطبیق توان را بیشینه می‌کند، نه بازده را.

۵. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

درگاه فاقد منبع (فقط منابع وابسته): $V_{oc}=0$ و $I_{sc}=0$ ، پس $V_{oc}/I_{sc}$ نامعین است — روش منبع آزمون الزامی است، و $R_{th}$ حاصل می‌تواند منفی باشد (یک منبع وابسته می‌تواند انرژی خالص تزریق کند، که مثلاً یک ناحیهٔ فعال را مدل می‌کند).
$R_{th}$ تباهیده: $R_{th}=0$ به یک منبع ولتاژ ایده‌آل فرومی‌پاشد؛ $R_{th}\to\infty$ به یک منبع جریان ایده‌آل فرومی‌پاشد (از دیدگاه نورتن یا یک منبع آزمون استفاده کنید).
حالت ماندگار AC: همه‌جا $R$ را با $Z$ جایگزین کنید؛ بار تطبیق‌یافته مزدوج مختلط $Z_L=Z_{th}^{*}$ است (مقاومت برابر، راکتانس خنثی‌شونده). اگر بار به مقاومتی خالص محدود باشد، بهینه به‌جای آن $R_L=|Z_{th}|$ است.
توان برهم‌نهی‌پذیر نیست: برهم‌نهی ولتاژها و جریان‌ها را جمع می‌کند (خطی نسبت به منابع)، هرگز توان‌ها را — $P=Ri^{2}$ درجه‌دوم است، پس جمله‌های متقابل باقی می‌مانند.
توان منابع وابسته: یک منبع وابسته ممکن است در دو سر یک اتصال‌کوتاه قرار گیرد یا در ولتاژ پایانهٔ صفر جریان بکشد؛ توان مصرف‌شده‌اش ( $P=v\cdot i$ با $v$ و $i$ خودِ منبع) باید صریحاً محاسبه شود و می‌تواند صفر، مثبت یا منفی باشد.

تلهٔ رایج: هرگز یک منبع وابسته را غیرفعال نکنید. وقتی برای یافتن $R_{th}$ (یا اجرای برهم‌نهی) منابع مستقل را از بین می‌برید، منابع وابسته فعال می‌مانند — دقیقاً به همین دلیل است که یک منبع آزمون لازم است. صفر کردن یک منبع کنترل‌شده (یا تلاش برای ساده‌سازی شبکه با سری/موازی در حضور یکی از آن‌ها) رایج‌ترین راه برای به‌دست آوردن $R_{th}$ اشتباه است. و به‌یاد داشته باشید: برهم‌نهی و فرمول بار تطبیق‌یافته ولتاژها، جریان‌ها و توان بیشینه را می‌دهند — اما هرگز نمی‌توانید توان‌ها را برهم‌نهی کنید.

فرمول‌های کلیدی

Thévenin / Norton from port excitations

V_{th}=V_{oc},\qquad I_N=I_{sc},\qquad R_{th}=\frac{V_{oc}}{I_{sc}}

Source transformation

V_{th}=I_N\,R_{th}

Test-source method (dependent sources present)

R_{th}=\frac{V_{test}}{I_{test}}\quad(\text{independent sources deactivated})

Maximum power transfer (DC)

R_L=R_{th}\ \Rightarrow\ P_{max}=\frac{V_{th}^{2}}{4R_{th}}

Maximum power transfer (AC, amplitude phasor)

Z_L=Z_{th}^{*}\ \Rightarrow\ P_{max}=\frac{|V_{th}|^{2}}{8\,\mathrm{Re}\{Z_{th}\}}

#thevenin#norton#superposition#maximum-power-transfer#test-source-method#dependent-sources#equivalent-resistance

سوالات تمرینی · 8/18

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطقضایای شبکهکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۴۱

در مدار زیر، مقاومت معادل از دو سر a و b چند اُهم است؟ مدار: از سر a یک مقاومت ۵ اهم به گره P وصل است. در گره P یک مقاومت ۲ اهم و یک منبع جریان وابسته‌ی ۴v_1 (پیکان رو به بالا) به‌صورت موازی به ریل…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطقضایای شبکهکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵ — سؤال ۴۲

در مدار زیر، یک منبع جریان ۲۰ آمپر (فلش رو به بالا) موازی با یک مقاومت ۱Ω قرار دارد که ولتاژ دوسرش v₁ است (قطب مثبت در بالا). گره بالا-چپ (پتانسیل v₁) را A و ریل پایین را زمین بگیرید. در سیم بالا، یک…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطقضایای شبکهکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۴۱

ولتاژ تونن (V_Th) و مقاومت تونن (R_Th) از دید دو سر a و b مدار زیر، به‌ترتیب، چند ولت و چند اُهم است؟ (شرح مدار: دو شاخهٔ قائم؛ شاخهٔ راست یک سیم ساده از سر b تا پایین است و همهٔ عناصر سمت راست به…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطقضایای شبکهکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۴۲

تغییرات ولتاژ و جریان برحسب زمان در یک‌قطبی N ، به صورت زیر داده شده است. کدام مورد، مدلی مناسب برای معرفی این یک‌قطبی از دو سر ab نیست؟ (جریان i از سر a وارد یک‌قطبی می‌شود و ولتاژ v با قطب + در a و…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطقضایای شبکهکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سؤال ۴۷

امپدانس ورودی مدار زیر، در ω = ۵ rad/sec برابر Z_in = (۲۱۰ - j۱۷۵) Ω است. امپدانس Z_x کدام است؟ مدار: از سر بالای پایانه‌های ورودی، یک مقاومت ۵۰ Ω (که ولتاژ v_x با قطب + در سمت چپ روی آن تعریف شده)…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲سختقضایای شبکهکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۴۱

در نردبان مقاومتی بی‌نهایت زیر (واحد همهٔ مقاومت‌ها اُهم است)، مقاومت معادل دیده‌شده از سرهای A و B چند اُهم است؟ توصیف مدار. شبکه سه ریل افقی دارد و تا بی‌نهایت به سمت راست ادامه می‌یابد. ریل بالا…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطقضایای شبکهکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۴۲

در مدار زیر با جواب یکتا، N مقاومتی، خطی و بدون منابع مستقل است. هرگاه رابطه vi در این مدار به ازای v_s = cos t و i_s = ۱/۲ به‌صورت ۴v - ۸i - ۲ + ۲cos t = ۰ باشد، رابطه vi به ازای v_s = sin t و i_s =…

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲متوسطقضایای شبکهکنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۳ — سؤال ۴۳

۴۳- در مدار زیر، پارامترهای مدار معادل تونن از دو سر منبع ولتاژ v_s کدام‌اند؟ توصیف مدار (سیم افقی پایین، گره مرجع است): منبع v_s(t) در شاخهٔ سمت چپ قرار دارد و سر مثبت آن بالاست؛ این منبع سیم پایین…

همهٔ 18 سؤال →