سوال ۴۱ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

گره $b$ را به‌عنوان مرجع می‌گیریم، یعنی $V_b=0$. سه ولتاژ گرهی مجهول روی شاخهٔ سمت چپ عبارت‌اند از $V_a$ (سر $a$)، $V_c$ (بین مقاومت $5\ \Omega$ و منبع جریان $10\ \text{A}$ / بالای مقاومت $3\ \Omega$) و $V_d$ (پایین مقاومت $3\ \Omega$ و بالای مقاومت $2\ \Omega$). چون مقاومت $2\ \Omega$ بین گره $d$ و گره $b$ قرار دارد و قطب $+$ آن در $d$ است، داریم

$v_x = V_d - V_b = V_d .$

گام ۱ — ولتاژ مدارباز $V_{Th}$

با باز بودن پورت، هیچ جریانی از سر $a$ خارج نمی‌شود.

KCL در گره $a$ (منبع وابسته جریان $\frac{v_x}{4}$ را به گره $a$ تزریق می‌کند و این جریان تنها می‌تواند از مقاومت $5\ \Omega$ عبور کند):

$\frac{v_x}{4} = \frac{V_a - V_c}{5}$

KCL در گره $c$ (ورودی: منبع $10\ \text{A}$ و جریان مقاومت $5\ \Omega$ برابر $\frac{v_x}{4}$؛ خروجی: مقاومت $3\ \Omega$):

$10 + \frac{v_x}{4} = \frac{V_c - V_d}{3}$

KCL در گره $d$ (ورودی: مقاومت $3\ \Omega$؛ خروجی: مقاومت $2\ \Omega$):

$\frac{V_c - V_d}{3} = \frac{V_d}{2} = \frac{v_x}{2}$

با جای‌گذاری رابطهٔ آخر در معادلهٔ گره $c$، همه‌چیز جز $v_x$ حذف می‌شود:

$10 + \frac{v_x}{4} = \frac{v_x}{2} \;\Rightarrow\; 10 = \frac{v_x}{4} \;\Rightarrow\; v_x = 40\ \text{V}$

حال روی شاخه به سمت بالا برمی‌گردیم:

$V_d = v_x = 40\ \text{V}, \qquad V_c = V_d + 3\cdot\frac{v_x}{2} = 40 + 60 = 100\ \text{V}$ $V_a = V_c + 5\cdot\frac{v_x}{4} = 100 + 50 = 150\ \text{V}$

$\boxed{V_{Th} = V_a - V_b = 150\ \text{V}}$

گام ۲ — جریان اتصال‌کوتاه $I_{sc}$

چون شبکه شامل یک منبع وابسته است، $R_{Th}$ را نمی‌توان صرفاً با صفر کردن منابع و ترکیب مقاومت‌ها به دست آورد. سر $a$ را به $b$ اتصال کوتاه می‌کنیم، پس $V_a = 0$، و فرض می‌کنیم $I_{sc}$ از $a$ به $b$ در اتصال کوتاه جاری شود.

$\text{node } d:\quad \frac{V_c - V_d}{3} = \frac{V_d}{2} \;\Rightarrow\; V_c = \frac{5}{2}V_d$ $\text{node } c:\quad 10 + \frac{0 - V_c}{5} = \frac{V_c - V_d}{3} = \frac{V_d}{2} \;\Rightarrow\; 10 - \frac{V_d}{2} = \frac{V_d}{2} \;\Rightarrow\; V_d = v_x = 10\ \text{V}$

بنابراین $V_c = 25\ \text{V}$. KCL در گره $a$ (ورودی: منبع وابسته $\frac{v_x}{4}$؛ خروجی: مقاومت $5\ \Omega$ به سمت $c$ و اتصال کوتاه):

$\frac{v_x}{4} = \frac{0 - V_c}{5} + I_{sc} \;\Rightarrow\; 2.5 = -5 + I_{sc} \;\Rightarrow\; I_{sc} = 7.5\ \text{A}$

$R_{Th} = \frac{V_{Th}}{I_{sc}} = \frac{150}{7.5} = 20\ \Omega$

گام ۳ — بررسی متقابل با منبع آزمون

منبع $10\ \text{A}$ را غیرفعال می‌کنیم (مدار باز)، پورت را با $V_a$ تحریک می‌کنیم و فرض می‌کنیم جریان $I_t$ وارد گره $a$ شود:

$V_c = \tfrac{5}{2}V_d, \qquad \frac{V_a - V_c}{5} = \frac{V_c - V_d}{3} = \frac{V_d}{2} \;\Rightarrow\; V_a = 5V_d$ $\frac{V_a - V_c}{5} = \frac{5V_d - 2.5V_d}{5} = \frac{V_d}{2}, \qquad \text{KCL at } a:\ \frac{v_x}{4} + I_t = \frac{V_d}{2} \;\Rightarrow\; I_t = \frac{V_d}{2} - \frac{V_d}{4} = \frac{V_d}{4}$ $R_{Th} = \frac{V_a}{I_t} = \frac{5V_d}{V_d/4} = 20\ \Omega \quad\checkmark$

پس $V_{Th} = 150\ \text{V}$ و $R_{Th} = 20\ \Omega$ — گزینهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: وقتی منبع وابسته در مدار وجود دارد، هرگز $R_{Th}$ را با «خاموش کردن منابع و ساده‌سازی مقاومت‌ها» حساب نکنید (اینجا $5+3+2 = 10\ \Omega$ می‌شود که اصلاً جزو گزینه‌ها نیست، در حالی که میان‌برهای فریبندهٔ از نوع $5\cdot(3+2)/\ldots$ به گزینه‌های انحرافی $30\ \Omega$ ختم می‌شوند). به‌جای آن از $R_{Th} = V_{oc}/I_{sc}$ یا از منبع آزمون $1\ \text{V}/1\ \text{A}$ استفاده کنید. همچنین توجه کنید که در حالت مدارباز بودن پورت، جریان منبع وابسته کاملاً مجبور است از مقاومت $5\ \Omega$ عبور کند و همین است که KCL در گره $a$ را این‌قدر تمیز ساده می‌کند.