در یک مدار مرتبهٔ سوم با یک تابع شبکهٔ (V_o)/(V_s) = (۲s+۳)/((s+۱)(s+۲)(s+۳)) ، کدام یک از توابع شبکهٔ زیر را میتوانیم داشته باشیم؟

سوال ۴۸ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

مدارهای الکتریکی ۱ و ۲آسانتحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاس

اهمیت

۰/۵

در یک مدار مرتبهٔ سوم با یک تابع شبکهٔ $\dfrac{V_o}{V_s} = \dfrac{۲s+۳}{(s+۱)(s+۲)(s+۳)}$ ، کدام یک از توابع شبکهٔ زیر را می‌توانیم داشته باشیم؟

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — $\dfrac{۲s+۷}{(s+۲)(s+۳)}$

پاسخ تشریحی

ایدهٔ اصلی. قطب‌های هر تابع شبکهٔ یک مدار خطی تغییرناپذیر با زمان، فرکانس‌های طبیعی همان مدار هستند. مداری از مرتبهٔ $n$ دقیقاً $n$ فرکانس طبیعی دارد (با احتساب تکرر) — یعنی ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصهٔ آن $\Delta(s)$ — و هر تابع شبکه را می‌توان به صورت زیر نوشت:

H(s) = \frac{N(s)}{\Delta(s)}

توابع شبکهٔ مختلفِ یک مدار تنها در صورت کسر، یعنی $N(s)$ ، با هم تفاوت دارند. یک قطب می‌تواند از یک تابع شبکهٔ خاص حذف شود (وقتی $N(s)$ یکی از عامل‌های $\Delta(s)$ را ساده کند)، اما هرگز قطب جدید یا قطبی با تکرر بالاتر ظاهر نمی‌شود.

گام ۱ — فرکانس‌های طبیعی این مدار. تابع داده‌شده

\frac{V_o}{V_s} = \frac{2s+3}{(s+1)(s+2)(s+3)}

سه قطب متمایز دارد: $s=-1,\,-2,\,-3$ (صفر $s=-\tfrac{3}{2}$ هیچ‌کدام از آن‌ها را حذف نمی‌کند). مدار از مرتبهٔ سوم است، پس دقیقاً سه فرکانس طبیعی دارد؛ بنابراین هر سه فرکانس طبیعی مشخص شده‌اند:

\Delta(s) = (s+1)(s+2)(s+3)

و هر ریشه ساده است.

گام ۲ — آزمون قابل‌قبول بودن. یک گزینه تنها در صورتی ممکن است که مخرج آن $\Delta(s)$ را عاد کند.

گزینه	قطب‌ها	آیا $\Delta(s)$ را عاد می‌کند؟
1	$s=-2$ (مضاعف)	خیر — $-2$ تنها یک فرکانس طبیعی ساده است
2	$s=-2,\ s=-3$	بله
3	$s=-1$ (مضاعف)، $s=-3$	خیر — $-1$ تنها یک فرکانس طبیعی ساده است
4	$s=-5,\ s=-2$	خیر — $-5$ فرکانس طبیعی مدار نیست

گام ۳ — تأیید گزینهٔ ۲. این گزینه صرفاً تابع شبکه‌ای است که در آن مُد $e^{-t}$ مشاهده نمی‌شود (حذف صفر و قطب در $s=-1$ ):

\frac{2s+7}{(s+2)(s+3)} = \frac{(2s+7)(s+1)}{(s+1)(s+2)(s+3)} = \frac{3}{s+2} - \frac{1}{s+3}

پاسخ ضربهٔ آن، $3e^{-2t}-e^{-3t}$ ، تنها شامل مُدهایی است که مدار واقعاً دارد؛ پس قابل‌قبول است.

پاسخ: گزینهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: هیچ محاسبه‌ای لازم نیست — فقط مجموعهٔ قطب‌ها را مقایسه کنید. قطب‌های هر تابع شبکه باید زیرمجموعه‌ای از فرکانس‌های طبیعی مدار باشند و تکرر آن‌ها بیشتر نشود؛ کمتر بودن قطب‌ها اشکالی ندارد (حذف صفر و قطب)، اما قطب اضافی یا تکراری مجاز نیست. این استدلال هیچ قیدی بر صفرها (صورت کسر) نمی‌گذارد.

#network-function#natural-frequencies#poles-and-zeros#network-order#pole-zero-cancellation

کارت‌های مرتبط

مفهوممدارهای الکتریکی ۱ و ۲

تحلیل مدار در حوزهٔ لاپلاس و تحلیل فازوری

هر مدار LTI را به‌صورت یک مسئلهٔ جبری در حوزهٔ s حل کنید — امپدانس عناصر به‌همراه منابع شرایط اولیه، توابع شبکه‌ای که همگی فرکانس‌های طبیعی مدار را به اشتراک دارند، پاسخ‌های حالت صفر و ورودی صفر، توابع ناسره‌ای که وارون آن‌ها ضربه و دوبلت است — و تحلیل فازوری (حالت دائمی سینوسی) به‌عنوان حالت خاص s = jω.

laplace-transforms-domain-impedancetransfer-functionnatural-frequencies