سوال ۴۷ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۰

گام ۱ — شبکهٔ ورودی‌صفر. فرکانس‌های طبیعی متعلق به مداری هستند که منابع مستقل آن خاموش شده باشند: منبع $20\,\text{V}$ به اتصال کوتاه تبدیل می‌شود (که مقاومت $3\,\Omega$ موازی با آن را نیز اتصال کوتاه می‌کند) و منبع $5\,\text{A}$ به مدار باز تبدیل می‌شود. آنچه باقی می‌ماند چنین است:

• $A \to M$: $3\,\Omega$ سری با $2\,\text{H}$، امپدانس $3+2s$
• $B \to M$: $3\,\Omega$ سری با $2\,\text{H}$، امپدانس $3+2s$
• $M \to N$: $2\,\text{H}$ سری با $1\,\text{F}$، امپدانس $2s+\dfrac{1}{s}$
• $N \to A$ و $N \to B$: هر کدام $1\,\text{F}$، امپدانس $\dfrac{1}{s}$

شبکه نسبت به جابه‌جایی $A \leftrightarrow B$ متقارن است، بنابراین مدهای طبیعی آن به یک دستهٔ فرد (پادمتقارن) و یک دستهٔ زوج (متقارن) تفکیک می‌شوند.

گام ۲ — مد فرد ($v_A=-v_B$). بنا بر تقارن، $M$ و $N$ در پتانسیل صفر قرار دارند و شاخهٔ میانی $M$–$N$ هیچ جریانی حمل نمی‌کند. جریان در حلقهٔ بیرونی $A \to M \to B \to N \to A$ گردش می‌کند. در نیم‌مدار، $3+2s$ با یک خازن $\dfrac{1}{s}$ در یک حلقه قرار دارد:

گام ۳ — مد زوج ($v_A=v_B$). می‌توان $A$ و $B$ را به هم وصل کرد. دو شاخهٔ $R$–$L$ موازی‌اند، $\dfrac{3+2s}{2}$، و دو خازن نیز موازی‌اند، $\dfrac{1}{2s}$. این‌ها همراه با شاخهٔ میانی یک حلقهٔ واحد تشکیل می‌دهند:

گام ۴ — فرکانس طبیعی صفر. با باز شدن منبع جریان، گره $N$ فقط به خازن‌ها (سه خازن) متصل است: یک کات‌ست تمام‌خازنی. بار کل روی صفحه‌های متصل به $N$ محبوس می‌ماند و هرگز میرا نمی‌شود، که همان مد $e^{0t}$ است. پس $s=0$ یک فرکانس طبیعی است.

گام ۵ — بررسی مرتبه. مدار ۶ عنصر ذخیره‌کنندهٔ انرژی دارد. گره $M$ فقط به سه سلف متصل است (یک کات‌ست تمام‌سلفی)، پس جریان یکی از سلف‌ها وابسته است و مرتبهٔ مدار $6-1=5$ است. پنج فرکانس طبیعی به‌دست‌آمده عبارت‌اند از

پس فهرست کامل است.

گام ۶ — مقایسه با گزینه‌ها.

پاسخ گزینهٔ ۳ است که با کلید رسمی مطابقت دارد.

نکتهٔ کنکوری: در مدار متقارن هرگز دترمینان کامل مرتبهٔ $5$ را ننویسید. مدار را به نیم‌مدارهای فرد و زوج تفکیک کنید — هر کدام به یک حلقهٔ سری ساده با معادلهٔ مشخصهٔ درجهٔ دوم فرو می‌کاهد. سپس به دنبال کات‌ست‌های تمام‌خازنی و حلقه‌های تمام‌سلفی بگردید: هر یک از آن‌ها یک فرکانس طبیعی در $s=0$ به دست می‌دهد.

تلهٔ رایج: $-\tfrac{1}{4}$ ضریب میرایی (قسمت حقیقی) زوج مختلط است و به‌تنهایی ریشه نیست. جای‌گذاری آن در $2s^{2}+s+1$ مقدار $\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{7}{8}\ne 0$ و در $2s^{2}+3s+1$ مقدار $\tfrac{1}{8}-\tfrac{3}{4}+1=\tfrac{3}{8}\ne 0$ را می‌دهد.