سوال ۵۸ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴

۱. کدام دیودها می‌توانند جریان عبور دهند؟

مسیر سیگنال به‌صورت $V_{in}\rightarrow D_1 \rightarrow$ گره $A \rightarrow (D_2\parallel D_3\ \text{anti-parallel}) \rightarrow$ گره $B \rightarrow R \rightarrow$ زمین است.

• نیم‌سیکل مثبت ($v_{in}>0$): دیود $D_1$ در باياس مستقیم است و از زوج پادموازی، تنها $D_2$ از $A$ به‌سوی $B$ هدایت می‌کند؛ بنابراین جریان به‌صورت سری از $D_1$ و $D_2$ عبور می‌کند. دیود $D_3$ در بایاس معکوس و غیرفعال است.
• نیم‌سیکل منفی ($v_{in}<0$): جریان باید از زمین و از میان $R$ بالا برود، سپس از $B\rightarrow A$ از $D_3$ بگذرد و در پایان به‌طور معکوس از $D_1$ عبور کند — اما $D_1$ مسیر را مسدود می‌کند. پس کل شاخه خاموش است و $v_R=0$.

بنابراین این شبکه یک یکسوساز نیم‌موج با آفست دو دیودی است: شرط هدایت عبارت است از

$v_{in}\ \ge\ 2V_{D\text{-}on}=2(0.7)=1.4\ \text{V},$

$v_R(t)=\begin{cases} v_{in}(t)-1.4, & v_{in}(t)\ge 1.4\ \text{V}\\[2pt] 0, & \text{otherwise.}\end{cases}$

۲. هندسهٔ موج مثلثی

موج مثلثی متقارن است با دامنهٔ قله $\hat V=3.5$ V و پریود $T=\frac{1}{100\ \text{Hz}}=10$ ms. این موج در مدت $T/4$ از $0\to 3.5$ می‌رود، پس اندازهٔ شیب در هر قطعه برابر است با

$\left|\frac{dv}{dt}\right|=\frac{3.5}{T/4}=\frac{14}{T}\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{T}{14}\,dv .$

بالاتر از آستانهٔ $1.4$ V، مقدار مازاد $u=v_{in}-1.4$ در لبهٔ بالارونده به‌صورت خطی از $0$ تا $3.5-1.4=2.1$ V افزایش می‌یابد و در لبهٔ پایین‌رونده دوباره به $0$ بازمی‌گردد — یعنی دو شیب یکسان در هر پریود.

۳. توان متوسط روی $R$

$P_{avg}=\frac{1}{T}\int_0^T \frac{v_R^{2}(t)}{R}\,dt=\frac{1}{RT}\cdot 2\int_{u=0}^{2.1} u^{2}\,\frac{T}{14}\,du$

$=\frac{2}{14R}\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_0^{2.1}=\frac{2}{14R}\cdot\frac{(2.1)^{3}}{3}=\frac{2}{14R}\cdot\frac{9.261}{3}=\frac{0.441}{R}\ \ [\text{V}^2/\Omega].$

پس مقدار میانگین مربعِ ولتاژ روی مقاومت برابر $\overline{v_R^{2}}=0.441\ \text{V}^2$ است و با $R=490\ \Omega$ داریم:

$P_{avg}=\frac{0.441}{490}=9\times10^{-4}\ \text{W}=\boxed{0.9\ \text{mW}}$

این همان گزینهٔ ۴ است که با کلید رسمی مطابقت دارد.

نکتهٔ کنکوری: در این سؤال دو دام عمداً کار گذاشته شده است. (i) عدد $100\ \text{Hz}$ گمراه‌کننده است — پریود در محاسبهٔ میانگین حذف می‌شود، پس هر فرکانسی همین پاسخ را می‌دهد. (ii) زوج پادموازی این تصور را ایجاد می‌کند که مدار یک محدودکنندهٔ دوطرفه/تمام‌موج است، اما دیود سری $D_1$ نیم‌سیکل منفی را کاملاً حذف می‌کند و در نیم‌سیکل مثبت دو افت ولتاژ ($1.4$ V و نه $0.7$ V) از دست می‌رود. اگر تنها یک افت در نظر گرفته شود، $\overline{v_R^2}=\tfrac{2}{14}\cdot\tfrac{2.8^3}{3}=1.045$ و $P\approx 2.1$ mW به‌دست می‌آید — دقیقاً همان تله‌ای که پشت گزینه‌های ۲ و ۳ نهفته است.