سوال ۹۶ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

هر جملهٔ حوزهٔ فرکانس را با استفاده از خواص استاندارد DTFT به حوزهٔ زمان بازگردانید، سپس ساختار سیستم را استخراج کنید.

جملهٔ ۱ — مشتق‌گیری در فرکانس + شیفت. خاصیت مشتق‌گیری در فرکانسِ DTFT عبارت است از $n\,x[n] \;\longleftrightarrow\; j\,\frac{dX(e^{j\Omega})}{d\Omega}.$ پس $j\,\dfrac{dX(e^{j\Omega})}{d\Omega} \leftrightarrow n\,x[n]$. ضرب یک DTFT در $e^{-j3\Omega}$ معادل یک شیفت زمانی به اندازهٔ $3$ است: $e^{-j3\Omega}\Big(j\,\tfrac{dX}{d\Omega}\Big) \;\longleftrightarrow\; (n-3)\,x[n-3].$

جملهٔ ۲ — مقیاس‌بندی فرکانس. بنا بر تعریف $X(e^{j2\Omega}) = \sum_{n} x[n]\,e^{-j\Omega(2n)} = \sum_{m\ \text{even}} x[m/2]\,e^{-j\Omega m},$ پس $X(e^{j2\Omega}) \leftrightarrow x[n/2]$ برای $n$ زوج (و $0$ برای $n$ فرد) — یعنی یک عمل افزایش نرخ نمونه‌برداری / درج صفر.

ترکیب. رابطهٔ ورودی–خروجی چنین است $y[n] = (n-3)\,x[n-3] + x[n/2].$

دسته‌بندی:

• خطی: هر جمله تابعکی خطی از $x$ است (مقیاس‌بندی، شیفت، و ضرب در بهرهٔ معلومِ وابسته به اندیس $(n-3)$)، بنابراین اصل برهم‌نهی برقرار است. ✔ خطی.
• متغیر با زمان: بهرهٔ $(n-3)$ به‌طور صریح به $n$ وابسته است، و جملهٔ $x[n/2]$ (افزایش نرخ نمونه‌برداری) ذاتاً متغیر با زمان است — یک شیفت در ورودی همان شیفت را در خروجی ایجاد نمی‌کند. ✔ متغیر با زمان.
• علیت: جملهٔ $x[n/2]$ ورودی را در اندیس $n/2$ ارزیابی می‌کند. برای یک اندیس زوج منفی مانند $n=-2$، خروجی به $x[-1]$ نیاز دارد که در آینده قرار می‌گیرد ($-1 > -2$). ✔ غیرعلّی.

بنابراین سیستم خطی، متغیر با زمان، غیرعلّی است — گزینهٔ ۱.

نکتهٔ کنکوری: ضرب یک DTFT در یک $e^{-jk\Omega}$ ثابت سیستم را LTI (تأخیر خالص) نگه می‌دارد، اما مشتق فرکانسی $\frac{d}{d\Omega}$ به یک جملهٔ $n\,x[n]$ (وزن‌دار با اندیس) نگاشته می‌شود و $X(e^{jk\Omega})$ به افزایش/کاهش نرخ نمونه‌برداری نگاشته می‌شود — هر دوی این‌ها ناوردایی با زمان را از بین می‌برند. هیچ‌کدام خطی‌بودن را نقض نمی‌کنند.