سوال ۹۷ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

این سیستم، ورودی را در یک سیگنال ثابت (مستقل از ورودی) به نام $s(t)$ ضرب می‌کند:

$y(t) = s(t)\,x(t), \qquad s(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - kT).$

خطی بودن. برای ورودی‌های $x_1, x_2$ و اسکالرهای $a, b$، خروجی متناظر با $a\,x_1 + b\,x_2$ برابر است با

$s(t)\,\big(a\,x_1(t) + b\,x_2(t)\big) = a\,s(t)\,x_1(t) + b\,s(t)\,x_2(t) = a\,y_1(t) + b\,y_2(t).$

هم خاصیت جمع‌پذیری و هم همگنی برقرار است، پس سیستم خطی است. (ضرب در یک تابع ثابت، عملی خطی روی $x$ است؛ ضربه‌ها این خاصیت را از بین نمی‌برند.)

تغییرناپذیری با زمان. ورودی را به اندازهٔ $t_0$ شیفت می‌دهیم؛ پاسخ به $x(t - t_0)$ برابر است با

$s(t)\,x(t - t_0).$

نسخهٔ شیفت‌یافتهٔ خروجی اصلی نیز عبارت است از

$y(t - t_0) = s(t - t_0)\,x(t - t_0).$

این دو تنها در صورتی برابرند که $s(t) = s(t - t_0)$ برای همهٔ $t$ برقرار باشد. از آنجا که $s(t)$ یک تابع صریح از $t$ است (فقط در $t = kT$ ناصفر است)، در حالت کلی $s(t)\,x(t-t_0) \ne s(t-t_0)\,x(t-t_0)$. ضرب در یک حامل (carrier) وابسته به زمان، سیستم را متغیر با زمان می‌کند.

بنابراین نمونه‌بردار خطی و متغیر با زمان است — گزینهٔ ۳.

نکتهٔ کنکوری: ضرب $x(t)$ در هر سیگنال ثابتی سیستم را خطی نگه می‌دارد؛ تنها زمانی تغییرناپذیر با زمان است که آن ضریب، ثابت (مقدار عددی) باشد. یک ضریب وابسته به زمان (حامل، پنجره، یا قطار ضربه) همواره یک سیستم خطی را متغیر با زمان می‌کند.