سوال ۹۸ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۵

زوج داده‌شده را از روی شکل بخوانید. با $\omega_c=\pi$ سیگنال $g(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ دارای تبدیل فوریه‌ای برابر با طیف آجری (brick-wall) ایده‌آل به ارتفاع $1$ است: $G(j\omega)=\begin{cases}1,& |\omega|<\pi\\[2pt]0,& |\omega|>\pi.\end{cases}$

انتگرال اول — پارسوال. از آنجا که $g(t)^2$ زوج است، $\int_{0}^{\infty} g(t)^2\,dt=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} g(t)^2\,dt.$ رابطهٔ پارسوال می‌دهد $\int_{-\infty}^{\infty}|g(t)|^{2}\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|G(j\omega)|^{2}\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1\,d\omega=\frac{1}{2\pi}\,(2\pi)=1.$ بنابراین $\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\right)^{2}dt=\frac{1}{2}.$

انتگرال دوم — ارزیابی تبدیل در یک نقطه. بنا بر تعریف $G(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,e^{-j\omega t}\,dt$، پس $\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,e^{j4t}\,dt=G\big(j(-4)\big)=G(j\omega)\Big|_{\omega=-4}.$ چون $|-4|=4>\pi\approx 3.14$ در بیرون باند عبور قرار دارد، این مقدار برابر $0$ است.

ترکیب. $I=\frac{1}{2}-0=\boxed{\frac{1}{2}}.$

این گزینهٔ ۳ است.

نکتهٔ کنکوری: جملهٔ دوم صرفاً «نمونه‌برداری طیف در $\omega=-4$» است. چون $e^{+j4t}$ متناظر با خواندن $G$ در $\omega=-4$ است (به علامت توجه کنید) و $4$ فراتر از فرکانس قطع $\pi$ قرار دارد، کل این انتگرال بدون هیچ محاسبهٔ واقعی صفر می‌شود — و تنها جملهٔ انرژی پارسوال باقی می‌ماند.