سری و تبدیل فوریهٔ زمان‌پیوسته

۱. ایدهٔ اصلی

نمایی‌های مختلط $e^{j\omega t}$ توابع ویژهٔ هر سیستم LTI هستند (یکی را به ورودی بدهید، همان را با ضریب $H(j\omega)$ در خروجی می‌گیرید). تحلیل فوریه از همین ویژگی بهره می‌گیرد و سیگنال را به صورت برهم‌نهی نمایی‌ها می‌نویسد، به‌طوری که فیلتر کردن، کانولوشن و مشتق‌گیری همگی به عملیات جبری بر حسب متغیر فرکانس تبدیل می‌شوند.

• یک سیگنال متناوب $x(t)=x(t+T)$ (با توان متوسط محدود) مجموعی گسسته از هارمونیک‌های $e^{jk\omega_0 t}$، $\omega_0=2\pi/T$ است — سری فوریه (CTFS). طیف آن یک طیف خطی در $\{k\omega_0\}$ است.
• یک سیگنال نامتناوب با انرژی محدود یک انتگرال پیوسته روی همهٔ فرکانس‌ها است — تبدیل فوریه (CTFT). طیف آن $X(j\omega)$ یک چگالی است.

تبدیل فوریه حد $T\to\infty$ سری است: با بزرگ شدن دورهٔ تناوب، فاصلهٔ هارمونیک‌ها $\omega_0\to 0$ می‌شود، طیف خطی پر می‌شود و $T a_k \to X(jk\omega_0)$. این دو نظریه در واقع یکی هستند.

۲. زوج‌های تحلیل / ترکیب

سری فوریه (دورهٔ تناوب $T$، $\omega_0=2\pi/T$): $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k\,e^{jk\omega_0 t},\qquad a_k=\frac{1}{T}\int_{T} x(t)\,e^{-jk\omega_0 t}\,dt.$

تبدیل فوریه: $X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt,\qquad x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.$

ضریب $\tfrac{1}{2\pi}$ روی تبدیل معکوس قرار دارد (فرکانس بر حسب rad/s). دو نتیجه‌ای که پیوسته به کار می‌روند چیزی جز همین تعریف‌ها در یک نقطه نیستند: $X(0)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,dt \quad(\text{DC = area in time}),\qquad x(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega)\,d\omega\quad(\text{area in frequency}).$

انرژی / توان (پارسوال–ریلی). برای یک زوج تبدیل، انرژی پایسته است؛ برای سری، توان متوسط پایسته است: $\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(j\omega)|^{2}\,d\omega,\qquad \frac{1}{T}\int_{T}|x(t)|^{2}\,dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^{2}.$

۳. جدول خواص (جعبه‌ابزار واقعی)

دو سطر کانولوشن و ضرب دوگان یکدیگرند و سرچشمهٔ بیشترِ محاسبه‌های «هوشمندانهٔ» انتگرال هستند: کانولوشن در یک حوزه، ضرب در حوزهٔ دیگر است. به‌ویژه مجذور کردن یک تبدیل، $X^{2}(j\omega)=X\cdot X$، تبدیلِ خودکانولوشن $(x*x)(t)$ است — و این با $|X|^{2}=X\,X^{*}$ که چگالی انرژی است یکی نیست.

تقارن. اگر $x(t)$ حقیقی باشد، $X(-j\omega)=X^{*}(j\omega)$ (اندازه زوج، فاز فرد). حقیقی و زوج $\Rightarrow$ $X$ حقیقی و زوج؛ حقیقی و فرد $\Rightarrow$ $X$ موهومی محض و فرد.

۴. جدول کوتاهی از زوج‌های تبدیل

(در اینجا $\operatorname{sinc}(x)=\sin x / x$.) توجه کنید که سطرهای rect $\leftrightarrow$ sinc و sinc $\leftrightarrow$ rect دوگان یکدیگرند و گاوسی تبدیلِ خودش است. سطر $\tfrac{1}{\pi t}$ دوگانِ سطر $\operatorname{sgn}$ است: دوگانی، $\operatorname{sgn}(t)\leftrightarrow \tfrac{2}{j\omega}$ را به $\tfrac{2}{jt}\leftrightarrow 2\pi\operatorname{sgn}(-\omega)=-2\pi\operatorname{sgn}(\omega)$ تبدیل می‌کند و ضرب در $\tfrac{j}{2\pi}$ نتیجه می‌دهد $\tfrac{1}{\pi t}\leftrightarrow -j\operatorname{sgn}(\omega)$. قطار ضربه متناوب است و همهٔ ضرایب سری آن برابر $\tfrac{1}{T}$ هستند، پس تبدیل آن نیز یک قطار ضربه است — فاصلهٔ $T$ در زمان به فاصلهٔ $\omega_0=\tfrac{2\pi}{T}$ در فرکانس تبدیل می‌شود.

۵. جدول خواص سری فوریه

فرض کنید $x(t)$ دارای دورهٔ تناوب $T$، فرکانس اصلی $\omega_0=2\pi/T$ و ضرایب $a_k$ باشد (و $y(t)$ با همان دورهٔ تناوب، ضرایب $b_k$).

برای سیگنال حقیقی $a_{-k}=a_k^{*}$ است. تغییر مقیاس زمانی سطری است که بیشترین تفاوت را با تبدیل فوریه دارد: فشرده کردن یک سیگنال متناوب ضرایب آن را نه تغییر مقیاس می‌دهد و نه کم‌نمونه می‌کند — همان اعداد $a_k$ صرفاً روی یک شبکهٔ فرکانسی با فاصلهٔ بیشتر، $k\alpha\omega_0$، می‌نشینند. برای $\alpha<0$ آن را با وارون‌سازی ترکیب کنید: فرکانس اصلی $\lvert\alpha\rvert\omega_0$، ضرایب $a_{-k}$.

جمع سیگنال‌های متناوب با دوره‌های تناوب متفاوت. اندیس $k$ فقط نسبت به یک $\omega_0$ انتخاب‌شده معنا دارد، پس ابتدا یک فرکانس اصلی مشترک را ثابت کنید: اگر اجزا دارای فرکانس‌های اصلی $\omega_1$ و $\omega_2$ با نسبت گویا باشند، $\omega_0=\gcd(\omega_1,\omega_2)$ را بگیرید (دورهٔ تناوب $=\operatorname{lcm}$ دوره‌های تناوب). جزئی که فرکانس اصلی خودش $M\omega_0$ و ضرایب خودش $b_k$ است، مقدار $b_{m/M}$ را در اندیس‌های $m$ که مضرب $M$ هستند و $0$ را در بقیهٔ اندیس‌ها سهم می‌دهد. برای مثال، سیگنالی با فرکانس اصلی $6$ rad/s و ضرایب $b_k$ که با $\cos(4t)$ جمع شده است، $\omega_0=\gcd(6,4)=2$ دارد: جزء اول اندیس‌های $k=0,\pm3,\pm6,\dots$ را اشغال می‌کند (با مقدار $b_{k/3}$) و کسینوس در $k=\pm2$ می‌نشیند.

۶. سه نتیجهٔ ساختاری

۶.۱ انرژی در عبور از یک سیستم LTI

چون $Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)$، چگالی طیفی انرژی $\lvert X(j\omega)\rvert^{2}$ توسط بهرهٔ توان $\lvert H(j\omega)\rvert^{2}$ شکل می‌گیرد و پارسوال انرژی خروجی را می‌دهد:

• فقط اندازهٔ $H$ اهمیت دارد؛ فاز هرگز انرژی را تغییر نمی‌دهد.
• تمام‌گذر با بهرهٔ $G$ ($\lvert H(j\omega)\rvert=G$ برای تقریباً همهٔ $\omega$ها) $\Rightarrow E_y=G^{2}E_x$ برای هر ورودی، بدون نیاز به دانستن $x(t)$. تأخیر خالص ($G=1$) و تبدیل‌گر هیلبرت ($G=1$) مثال‌های استاندارد هستند.
• فیلتر ایده‌آل (بهرهٔ واحد روی باند $B$ و صفر در بقیه) $\Rightarrow E_y=\tfrac{1}{2\pi}\int_{B}\lvert X\rvert^{2}d\omega$، یعنی آن بخش از انرژی ورودی که در باند عبور قرار دارد.
• برای برقراری این رابطه لازم نیست خودِ پاسخ ضربه مطلقاً انتگرال‌پذیر یا دارای انرژی محدود باشد — آنچه باید کران‌دار باشد $\lvert H(j\omega)\rvert$ است.

تبدیل‌گر هیلبرت. $h(t)=\tfrac{1}{\pi t}$ دارای $H(j\omega)=-j\operatorname{sgn}(\omega)$ است: بهرهٔ واحد، فاز $-90^{\circ}$ برای $\omega>0$ و $+90^{\circ}$ برای $\omega<0$. این سیستم $\cos(\omega_0 t)\to\sin(\omega_0 t)$ و $\sin(\omega_0 t)\to-\cos(\omega_0 t)$ را نگاشت می‌کند ($\omega_0>0$)، انرژی را حفظ می‌کند و دو بار اعمال آن $-x(t)$ می‌دهد زیرا $H^{2}=-1$. بنا بر خطی بودن، $h(t)=\tfrac{c}{t}$ دارای $H(j\omega)=-jc\pi\operatorname{sgn}(\omega)$ است — یک تمام‌گذر با بهرهٔ $\lvert c\rvert\pi$.

۶.۲ تکرار متناوب در زمان = نمونه‌برداری از طیف

تکرار یک $x(t)$ نامتناوب در هر $T$ ثانیه، کانولوشن با یک قطار ضربه است و در نتیجه ضربِ $X(j\omega)$ در یک قطار ضربه در حوزهٔ فرکانس، که فقط نمونه‌های $X(jk\omega_0)$ را نگه می‌دارد:

پس ضرایب سری سیگنال تکرارشده $a_k=\tfrac{1}{T}X(jk\omega_0)$ هستند (فرمول جمع پواسون). نسخه‌ها مجازند در زمان هم‌پوشانی داشته باشند — فرمول در هر صورت برقرار است و هرگز لازم نیست خودِ $x(t)$ به دست آید. اگر $X$ باندمحدود باشد، سری تعداد متناهی جمله دارد.

تکرار وزن‌دار. برای $y(t)=\sum_{n}c_n\,x(t-nT_1)$ با وزن‌هایی با دورهٔ تناوب $N$ ($c_{n+N}=c_n$)، بنویسید $y=x*p$ با $p(t)=\sum_n c_n\delta(t-nT_1)$. آنگاه $p$ متناوب است با $T=NT_1$، $\omega_0=\tfrac{2\pi}{NT_1}$، و

حالت خاص مهم، قطار متناوب‌العلامت $c_n=(-1)^{n}$ است: دورهٔ تناوب دو برابر می‌شود و به $T=2T_1$ می‌رسد ($\omega_0=\pi/T_1$) و

فقط هارمونیک‌های فرد باقی می‌مانند و جملهٔ DC وجود ندارد، که با پادتقارن نیم‌موج $y(t+T_1)=-y(t)$ سازگار است.

۶.۳ DTFT یک سری فوریه بر حسب متغیر فرکانس است

تبدیل فوریهٔ زمان‌گسستهٔ یک دنبالهٔ $x[n]$،

تابعی $2\pi$-متناوب از متغیر پیوستهٔ $\Omega$ است و این مجموع از پیش بسط سری فوریهٔ آن است. تغییر نام متغیر آن را به یک سیگنال زمانی متناوب تبدیل می‌کند که ضرایبش بدون هیچ انتگرال‌گیری خوانده می‌شوند:

در واقع $X(e^{-j\omega_0 t})=\sum_n x[n]e^{jn\omega_0 t}$. ضریب مقیاس $\omega_0$ در فرکانس اصلی جذب می‌شود (بخش ۵، تغییر مقیاس زمانی) — هرگز $x[\omega_0 k]$ تولید نمی‌کند — و فقط علامتِ جایگذاری است که بین $x[k]$ و $x[-k]$ تعیین تکلیف می‌کند. برعکس، معادلهٔ ترکیب DTFT یعنی $x[n]=\tfrac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\Omega})e^{j\Omega n}d\Omega$ همان انتگرال تحلیل سری است که وارونه خوانده شده است.

۷. روش — چگونه به این مسائل حمله کنیم

1. سیگنال را دسته‌بندی کنید. متناوب $\Rightarrow$ سری (طیف خطی، از $a_k$ استفاده کنید). نامتناوب با انرژی محدود $\Rightarrow$ تبدیل. ترکیبی (متناوب $\times$ پنجره، یا قطاری از پالس‌ها) $\Rightarrow$ خواص کانولوشن/ضرب را ترکیب کنید.
2. هرگز کورکورانه انتگرال نگیرید — سراغ یک زوج تبدیل + یک خاصیت بروید. سیگنال را به زوج‌های شناخته‌شده تجزیه کنید و آنها را انتقال/مقیاس/مدوله کنید، به‌جای آنکه $\int x e^{-j\omega t}dt$ را از صفر محاسبه کنید.
3. محاسبه‌های نقطه‌ایِ پنهان را تشخیص دهید. انتگرالی به شکل $\int x(t)e^{\pm j\omega_0 t}dt$ چیزی جز $X(j\omega)$ خوانده‌شده در $\omega=\mp\omega_0$ نیست (به علامت دقت کنید). انتگرال $\tfrac{1}{2\pi}\int X\,d\omega$ برابر $x(0)$ است؛ $\int x\,dt$ برابر $X(0)$ است.
4. رابطهٔ درجه‌دوم درست را انتخاب کنید. $\int|x|^{2}dt=\tfrac{1}{2\pi}\int|X|^{2}d\omega$ (پارسوال، انرژی حقیقی). اما $\tfrac{1}{2\pi}\int X^{2}d\omega$ (بدون مزدوج) تبدیل معکوسِ $X^2$ در $t=0$ است، یعنی $(x*x)(0)=\int x(\tau)x(-\tau)\,d\tau$. انتگرال‌ده را با دقت بخوانید: $|X|^2$ و $X^2$ دو مسئلهٔ متفاوت‌اند.
5. از تقارن بهره بگیرید تا بازه‌ها را نصف کنید ($\int_0^\infty=\tfrac12\int_{-\infty}^{\infty}$ برای انتگرال‌ده زوج) و پیش از محاسبه، بخش‌های حقیقی/موهومی را پیش‌بینی کنید.
6. انرژی در خروجی یک سیستم: فقط $\lvert H(j\omega)\rvert$ را بیابید. اگر ثابت باشد، بی‌درنگ $E_y=G^{2}E_x$؛ در غیر این صورت $\lvert H\rvert^{2}\lvert X\rvert^{2}$ را روی باندی که هر دو غیرصفرند انتگرال بگیرید.
7. مجموعی از نسخه‌های انتقال‌یافته $\sum_n c_n x(t-nT_1)$: دورهٔ تناوب واقعی الگوی وزن‌ها را بیابید، ضرایب قطار $p_k$ را حساب کنید، سپس از $X$ در $k\omega_0$ نمونه بگیرید و $y(t)=\sum_k p_kX(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$ را بسازید؛ جملات $\pm k$ را جفت کنید تا کسینوس به دست آید، هرگاه $X$ حقیقی و زوج باشد.
8. ضرایب سری یک سیگنال متناوب مرکب: ابتدا $\omega_0$ مشترکِ کل سیگنال را ثابت کنید، سپس هر جزء را روی آن شبکه قرار دهید (سینوسی با فرکانس $m\omega_0$ روی $k=\pm m$ می‌نشیند؛ جمله‌ای به شکل DTFT مقدار $x[\pm k]$ می‌دهد) و با خطی بودن جمع کنید.

۸. مثال‌های کوتاه حل‌شده

مثال A — یک زوج تبدیل به‌همراه پارسوال. تبدیل $x(t)=e^{-a|t|}$ ($a>0$) را بیابید، سپس $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{(a^{2}+\omega^{2})^{2}}$ را محاسبه کنید.

سیگنال حقیقی و زوج است، پس تبدیل آن حقیقی و زوج است. آن را دو تکه کنید و از زوج علّی به‌همراه همتای وارون‌شدهٔ زمانی‌اش استفاده کنید: $X(j\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{-at}e^{-j\omega t}dt+\int_{-\infty}^{0} e^{at}e^{-j\omega t}dt=\frac{1}{a+j\omega}+\frac{1}{a-j\omega}=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}.$

اکنون پارسوال را به کار ببرید تا انتگرال دشوار روی $\omega$ رایگان به دست آید. انرژی در حوزهٔ زمان برابر است با $\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}\,dt=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2a|t|}\,dt=2\int_{0}^{\infty} e^{-2at}\,dt=\frac{1}{a}.$ پارسوال این مقدار را با $\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{4a^{2}}{(a^{2}+\omega^{2})^{2}}\,d\omega$ برابر قرار می‌دهد، پس $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{(a^{2}+\omega^{2})^{2}}=\frac{2\pi}{4a^{2}}\cdot\frac{1}{a}=\frac{\pi}{2a^{3}}.$ یک زوج تبدیل به‌همراه یک اتحاد انرژی جایگزین محاسبهٔ مانده‌ها شد. (بررسی درستی: از نظر ابعادی انتگرال متناسب با $a^{-3}$ است، همان‌طور که باید باشد.)

مثال B — انرژی خروجی. سیگنال $x(t)=\dfrac{\sin(4t)}{\pi t}$ به سیستم $h(t)=\dfrac{1}{2t}$ اعمال می‌شود. در اینجا $X(j\omega)=1$ روی $\lvert\omega\rvert<4$ است، پس $E_x=\tfrac{1}{2\pi}\cdot 8=\tfrac{4}{\pi}$. چون $\tfrac{1}{2t}=\tfrac{\pi}{2}\cdot\tfrac{1}{\pi t}$، $H(j\omega)=-j\tfrac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(\omega)$ یک تمام‌گذر با بهرهٔ $\tfrac{\pi}{2}$ است، و

مثال C — تکرار متناوب. فرض کنید $X(j\omega)=1-\dfrac{\lvert\omega\rvert}{3\pi}$ برای $\lvert\omega\rvert<3\pi$ و در غیر این صورت $0$ باشد، و $y(t)=\sum_n x(t-2n)$. آنگاه $T=2$، $\omega_0=\pi$، $a_k=\tfrac12X(jk\pi)$ با نمونه‌های $X(0)=1$، $X(\pm j\pi)=\tfrac23$، $X(\pm j2\pi)=\tfrac13$، و صفر از $k=\pm3$ به بعد:

با علامت‌های متناوب، $y_a(t)=\sum_n(-1)^{n}x(t-2n)$ دارای $T_1=2$، دورهٔ تناوب $4$، $\omega_0=\tfrac{\pi}{2}$ و $p_k=\tfrac12$ فقط برای $k$ فرد است. نمونه‌ها عبارت‌اند از $X(j\tfrac{\pi}{2})=\tfrac56$، $X(j\tfrac{3\pi}{2})=\tfrac12$، $X(j\tfrac{5\pi}{2})=\tfrac16$، و سپس صفر، پس

مثال D — ضرایب با نگاه مستقیم. فرض کنید $x[n]=\left(\tfrac12\right)^{n}u[n]$، پس $X(e^{j\Omega})=\dfrac{1}{1-\tfrac12e^{-j\Omega}}$، و در نظر بگیرید

جملهٔ اول دورهٔ تناوب $\tfrac{2\pi}{4}$ و جملهٔ دوم $\tfrac{2\pi}{8}$ دارد، پس $\omega_0=4$. جایگذاری $\Omega\to-\omega_0t$ است که $x[k]$ می‌دهد؛ و $8=2\omega_0$ سینوس را روی $k=\pm2$ قرار می‌دهد:

(بررسی: $\sum_{k\ge0}(\tfrac12)^{k}e^{j4kt}$ همان سری هندسیِ جملهٔ اول است.)

۹. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

• پهنای باند مؤثر $\leftrightarrow$ همواری (دوگانی زمان–فرکانس). جزئیات تیز در زمان به بهای محتوای فرکانس بالا تمام می‌شوند. ناپیوستگی پرشی افت $1/\omega$ می‌دهد (rect $\to$ sinc)، ناپیوستگی در شیب $1/\omega^{2}$ می‌دهد (مثلث $\to\operatorname{sinc}^2$)، و یک پالس بی‌نهایت هموار سریع‌تر از هر چندجمله‌ای افت می‌کند. هر مرتبهٔ اضافیِ پیوستگی یک ضریب $1/\omega$ دیگر به ارمغان می‌آورد.
• اصل عدم قطعیت. حاصل‌ضرب زمان–پهنای باند $\Delta t\,\Delta\omega\ge \tfrac12$ (پهناهای RMS) به‌طور یکتا توسط گاوسی کمینه می‌شود، و به همین دلیل پالس گاوسی در میان همهٔ شکل‌موج‌های با مدت زمان معین فشرده‌ترین طیف را دارد.
• تغییر مقیاس. باریک کردن یک سیگنال در زمان ($a>1$ در $x(at)$) طیف آن را با ضریب $|a|$ می‌گستراند (و ارتفاع آن را با ضریب $1/|a|$ مقیاس می‌کند) و برعکس — نمی‌توان در هر دو حوزه باریک بود.
• سیگنال تحلیلی. $x_a(t)=x(t)+j\hat{x}(t)$، با $\hat{x}=x*\tfrac{1}{\pi t}$، دارای طیف $2X(j\omega)u(\omega)$ است: تبدیل‌گر هیلبرت همان چیزی است که نیمهٔ فرکانس منفیِ یک سیگنال حقیقی را حذف می‌کند (مدولاسیون تک‌باند کناری).
• سیگنال‌های متناوب از دید تبدیل فوریه. یک سیگنال متناوب طیفی ضربه‌ای دارد: $x(t)=\sum_k a_k e^{jk\omega_0 t}\Leftrightarrow X(j\omega)=2\pi\sum_k a_k\,\delta(\omega-k\omega_0)$، و ضرایب، نمونه‌های تبدیلِ یک دورهٔ تناوب هستند: $a_k=\tfrac{1}{T}X_{\text{one period}}(jk\omega_0)$.
• فیلتر کردن ایده‌آل. ضرب $X(j\omega)$ در یک پنجرهٔ دیوار آجری (بهرهٔ واحد روی $|\omega|<W$) فقط $|\omega|<W$ را نگه می‌دارد؛ هر محتوای طیفی که اکیداً بیرون از باند عبور باشد — از جمله یک نمایی تنها $e^{j\omega_1 t}$ با $|\omega_1|>W$ — به‌کلی حذف می‌شود.

نکتهٔ کنکوری: پیش از هر انتگرال‌گیری بپرسید «آیا این انتگرال در واقع یک تبدیل است که در یک نقطه خوانده شده؟» $\int x(t)e^{\pm j\omega_0 t}dt = X(\mp j\omega_0)$، $\tfrac{1}{2\pi}\int X\,d\omega = x(0)$، $\tfrac{1}{2\pi}\int|X|^2 d\omega=\text{energy}$، و $\tfrac{1}{2\pi}\int X^{2}d\omega=(x*x)(0)$. تمایز گذاشتن میان $|X|^2$ (مزدوج حاضر $\to$ انرژی) و $X^2$ (بدون مزدوج $\to$ خودکانولوشن در مبدأ) رایج‌ترین جایی است که این مسائل در آن برده یا باخته می‌شوند.

تلهٔ رایج: سه تلهٔ اندیس/مقیاس. (i) تغییر مقیاس یک سیگنال متناوب $\omega_0$ را عوض می‌کند، نه ضرایب را: $x(3t)$ دارای ضرایب $a_k$ است، نه $a_{3k}$. (ii) شمارهٔ هارمونیک یک سینوسی به فرکانس اصلیِ کل سیگنال بستگی دارد — $\cos(\omega_1t)$ در $k=\pm\omega_1/\omega_0$ می‌نشیند، که فقط وقتی $\pm1$ است که چیز دیگری $\omega_0$ کوچک‌تری را تحمیل نکند. (iii) الگوهای علامت روی قطاری از نسخه‌ها دورهٔ تناوب آن را تغییر می‌دهند: $(-1)^{n}$ آن را دو برابر می‌کند و فقط هارمونیک‌های فرد را نگه می‌دارد، پس نمونه‌برداری از طیف روی شبکهٔ قطارِ بدون علامت، نمونه‌هایی کاملاً نادرست می‌دهد.