سوال ۹۶ کنکور ارشد مهندسی برق ۱۴۰۴ — سیستم پیوسته زمان D از ترکیب سه زیر سیستم A، B و C و یک ضرب‌کننده…

Question

سیستم پیوسته زمان D از ترکیب سه زیر سیستم A، B و C و یک ضرب‌کننده به‌شکل زیر ساخته شده است. کدام مورد، همواره درست است؟ (در شکل، ورودی به‌صورت موازی به دو زیرسیستم A و B اعمال می‌شود؛ خروجی‌های A و B به یک ضرب‌کننده (×) می‌روند و حاصل‌ضرب از زیرسیستم C عبور کرده و خروجی D را می‌سازد.)

پاسخ صحیح: گزینهٔ B — اگر هر سه زیرسیستم A، B و C علّی و پایدار باشند، آنگاه سیستم D علّی و پایدار است.

پاسخ تشریحی

ساختار $D$ . ورودی $x(t)$ به‌صورت موازی به زیرسیستم‌های $A$ و $B$ اعمال می‌شود؛ خروجی‌های آن‌ها نقطه‌به‌نقطه در هم ضرب می‌شوند و حاصل‌ضرب از $C$ عبور می‌کند:

y(t) \;=\; C\Big\{\, \big(A\{x\}\big)(t)\cdot\big(B\{x\}\big)(t) \,\Big\}

بلوک ضرب‌کننده $w(t)=u(t)\,v(t)$ یک بلوک بدون حافظه ولی غیرخطی است — همین یک نکته تکلیف کل سؤال را روشن می‌کند.

گزینهٔ ۱ — خطی + پایدار $\Rightarrow$ $D$ خطی است؟ خیر. خطی بودن به‌دست ضرب‌کننده از بین می‌رود. فرض کنید $A=B=C=$ همانی (خطی و پایدار). آنگاه $y(t)=x^{2}(t)$ و با $x\to\alpha x$ به $\alpha^{2}x^{2}(t)\ne\alpha\,x^{2}(t)$ می‌رسیم. پس $D$ در حالت کلی خطی نیست. ✗

گزینهٔ ۲ — علّی + پایدار $\Rightarrow$ $D$ علّی و پایدار است؟ بله، هر دو ویژگی حفظ می‌شوند.

علّیت. $A$ و $B$ علّی‌اند، پس خروجی‌شان در لحظهٔ $t_{0}$ تنها به $x(t)$ برای $t\le t_{0}$ وابسته است. ضرب‌کننده بدون حافظه است، بنابراین خروجی‌اش در $t_{0}$ فقط به خروجی‌های $A,B$ در $t_{0}$ بستگی دارد. اعمال این سیگنال به $C$ که علّی است، وابستگی را همچنان محدود به $t\le t_{0}$ نگه می‌دارد. اتصال‌های موازی، آبشاری و بدون‌حافظهٔ سیستم‌های علّی، علّی‌اند $\Rightarrow$ پس $D$ علّی است.

پایداری BIBO. فرض کنید $|x(t)|\le M<\infty$ . پایداری $A$ و $B$ کران‌های زیر را می‌دهد

|u(t)| = \big|(A\{x\})(t)\big| \le M_{A}, \qquad |v(t)| = \big|(B\{x\})(t)\big| \le M_{B}.

پس حاصل‌ضرب کران‌دار است، $|w(t)|=|u(t)v(t)|\le M_{A}M_{B}<\infty$ ، یعنی $w$ ورودی‌ای کران‌دار برای $C$ است؛ پایداری $C$ نتیجه می‌دهد $|y(t)|\le M_{C}<\infty$ . بنابراین ورودی کران‌دار $\Rightarrow$ خروجی کران‌دار، یعنی $D$ به‌معنای BIBO پایدار است. ✓

گزینهٔ ۳ — علّی + وارون‌پذیر $\Rightarrow$ $D$ وارون‌پذیر است؟ خیر. ضرب‌کننده عموماً وارون‌پذیر نیست: تنها از روی حاصل‌ضرب $w=uv$ نمی‌توان زوج $(u,v)$ و در نتیجه $x$ را بازیابی کرد. به‌طور مشخص، با $A=B=C=$ همانی (علّی و وارون‌پذیر)، $D$ به $y(t)=x^{2}(t)$ می‌رسد و هر دو سیگنال $x(t)$ و $-x(t)$ خروجی یکسانی می‌دهند، پس $D$ وارون‌پذیر نیست. ✗

گزینهٔ ۴ — خطی + وارون‌پذیر $\Rightarrow$ $D$ خطی و وارون‌پذیر است؟ به همان دو دلیل گزینه‌های ۱ و ۳ نادرست است (همان مثال نقض $A=B=C=\text{identity}$ به $y=x^{2}$ می‌انجامد که نه خطی است و نه وارون‌پذیر). ✗

نتیجه. تنها علّیت و پایداری BIBO در اتصال موازی + ضرب + آبشاری حفظ می‌شوند.

\boxed{\text{Option 2}}

ویژگی $A,B,C$	به $D$ به ارث می‌رسد؟	چرا
علّیت	بله	ضرب‌کننده بدون حافظه است؛ ترکیب علّی $\circ$ علّی، علّی است
پایداری BIBO	بله	حاصل‌ضرب دو سیگنال کران‌دار، کران‌دار است
خطی بودن	خیر	$uv$ غیرخطی است (مثلاً $y=x^{2}$ )
وارون‌پذیری	خیر	از روی $uv$ نمی‌توان $u,v$ را بازیابی کرد

نکتهٔ کنکوری: بپرسید کدام ویژگی‌ها تحت همان اتصالی که در شکل رسم شده بسته هستند. علّیت و کران‌داری ویژگی‌هایی «موضعی/مقاوم» هستند که از هر غیرخطی‌سازی بدون حافظه عبور می‌کنند، در حالی که خطی بودن و وارون‌پذیری بلافاصله با یک ضرب‌کننده از بین می‌روند. آزمودن $A=B=C=\text{identity}$ (که $y=x^{2}$ می‌دهد) گزینه‌های ۱، ۳ و ۴ را یک‌جا حذف می‌کند.

Accepted Answer

اگر هر سه زیرسیستم A، B و C علّی و پایدار باشند، آنگاه سیستم D علّی و پایدار است.

Answer

اگر هر سه زیرسیستم A، B و C خطی و پایدار باشند، آنگاه سیستم D خطی و پایدار است.

Answer

اگر هر سه زیرسیستم A، B و C علّی و وارون‌پذیر باشند، آنگاه سیستم D علّی و وارون‌پذیر است.

Answer

اگر هر سه زیرسیستم A، B و C خطی و وارون‌پذیر باشند، آنگاه سیستم D خطی و وارون‌پذیر است.

کارت‌های مرتبط