ویژگی‌های سیستم: خطی بودن، تغییرناپذیری با زمان، علّی بودن، حافظه، پایداری و وارون‌پذیری

۱. ایدهٔ اصلی: سیستم یک عملگر است و شش ویژگی آن را دسته‌بندی می‌کنند

سیستم یک نگاشت میان سیگنال‌ها است که به صورت $y = \mathcal{T}\{x\}$ نوشته می‌شود: کل شکل‌موج ورودی $x$ را می‌گیرد و کل شکل‌موج خروجی $y$ را برمی‌گرداند. پیش از هر محاسبه‌ای با سیستم، آن را در امتداد شش محور مستقل دسته‌بندی می‌کنیم — خطی بودن، تغییرناپذیری با زمان، علّی بودن، حافظه، پایداری، وارون‌پذیری. این کار صرفاً دفترداری نیست: هر ویژگی ابزاری را در اختیار می‌گذارد (یا ممنوع می‌کند).

• خطی + تغییرناپذیر با زمان $\Rightarrow$ سیستم به‌طور کامل با یک تابع، یعنی پاسخ ضربهٔ $h$، توصیف می‌شود و $y = x * h$؛ تابع‌های تبدیل $H(s)$ و $H(z)$ و پاسخ فرکانسی $H(j\omega)$ وجود دارند. با از دست رفتن هر یک از این دو ویژگی، کانولوشن به‌سادگی نادرست است.
• علّی + پایدار BIBO $\Rightarrow$ سیستم را می‌توان به‌صورت بی‌درنگ پیاده‌سازی کرد و خروجی آن واگرا نمی‌شود. اگر پایداری از دست برود، هیچ مقدار جبری سخت‌افزار را نجات نمی‌دهد.
• وارون‌پذیر $\Rightarrow$ ورودی قابل بازیابی است (همسان‌سازها، وارون‌سازی کانال، کدگشایی).

تعریف‌های زیر در سطح کنکور هستند؛ هر ویژگی گزاره‌ای است که روی همهٔ ورودی‌ها و همهٔ زمان‌ها سور خورده است، بنابراین اثبات یک ویژگی نیازمند استدلال است، در حالی که برای رد آن تنها یک مثال نقض کافی است.

خطی بودن. $\mathcal{T}$ خطی است اگر برای همهٔ ورودی‌های $x_1,x_2$ و همهٔ اسکالرهای (مختلط) $a,b$

$\mathcal{T}\{a\,x_1 + b\,x_2\} \;=\; a\,\mathcal{T}\{x_1\} + b\,\mathcal{T}\{x_2\}.$

این رابطه جمع‌پذیری ($a=b=1$) و همگنی ($b=0$) را یک‌جا در بر دارد. یک پیامد لازم: $x \equiv 0 \Rightarrow y \equiv 0$ — سیستمی که به ازای ورودی صفر خروجی ناصفر دارد نمی‌تواند خطی باشد.

تغییرناپذیری با زمان. فرض کنید $\mathcal{S}_{t_0}$ عملگر انتقال $(\mathcal{S}_{t_0}x)(t) = x(t-t_0)$ باشد. سیستم تغییرناپذیر با زمان است اگر و تنها اگر با هر انتقالی جابه‌جا شود:

$\mathcal{T}\,\mathcal{S}_{t_0} \;=\; \mathcal{S}_{t_0}\,\mathcal{T} \qquad\Longleftrightarrow\qquad x(t-t_0)\ \longrightarrow\ y(t-t_0)\quad \forall t_0 .$

علّی بودن. $y(t_0)$ تنها به $x(t)$ برای $t \le t_0$ وابسته است. به‌طور معادل: اگر $x_1(t) = x_2(t)$ برای همهٔ $t \le t_0$، آنگاه $y_1(t_0) = y_2(t_0)$. سیستم علّی نمی‌تواند آینده را پیش‌بینی کند؛ سیستم بدون حافظه تنها به $x(t_0)$ وابسته است (بدون حافظه $\Rightarrow$ علّی، و هرگز عکس آن).

پایداری BIBO. هر ورودی کران‌دار خروجی کران‌دار تولید می‌کند:

$\sup_t |x(t)| \le M < \infty \quad\Longrightarrow\quad \sup_t |y(t)| \le M_y < \infty .$

وارون‌پذیری. ورودی‌های متمایز خروجی‌های متمایز تولید می‌کنند (عملگر یک‌به‌یک است)، بنابراین سیستمی مانند $\mathcal{T}^{-1}$ با $\mathcal{T}^{-1}\mathcal{T} = \mathcal{I}$ وجود دارد.

۲. آزمون‌ها و قضیه‌های کلیدی

برای یک سیستم LTI کل دسته‌بندی به پاسخ ضربه فروکاسته می‌شود:

$y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau, \qquad y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k].$

قضیهٔ BIBO (برای LTI). سیستم پایدار BIBO است اگر و تنها اگر $h$ مطلقاً انتگرال‌پذیر (جمع‌پذیر) باشد:

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty \qquad\text{(DT: } \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty \text{)}.$

کفایت: $|y(t)| \le \int |h(\tau)|\,|x(t-\tau)|\,d\tau \le M\int|h|$. لزوم: ورودی کران‌دار $x(t_0-\tau) = \operatorname{sgn} h(\tau)$ خروجی $y(t_0) = \int|h|$ را نتیجه می‌دهد.

در حوزهٔ تبدیل، برای یک $H(s)$ (یا $H(z)$) گویا:

$\text{BIBO stable} \iff \text{ROC contains the } j\omega\text{-axis} \iff \text{(causal case) all poles in } \operatorname{Re}\{s\}<0,$ $\text{DT: BIBO stable} \iff \text{ROC contains } |z|=1 \iff \text{(causal case) all poles with } |p|<1 .$

ناحیهٔ همگرایی تعیین‌کننده است (سیستم‌های LTI گویا). عبارت جبری $H(s)$ به‌تنهایی $h(t)$ را مشخص نمی‌کند: هر قطب $p$ جمله‌ای می‌دهد که به دو شیوه می‌توان آن را وارون کرد، و تنها ناحیهٔ همگرایی می‌گوید کدام‌یک مورد نظر است.

همتاهای گسسته‌زمان عبارت‌اند از $p^{n}u[n] \leftrightarrow \dfrac{1}{1-pz^{-1}}$ برای $\lvert z\rvert>\lvert p\rvert$ و $-p^{n}u[-n-1] \leftrightarrow \dfrac{1}{1-pz^{-1}}$ برای $\lvert z\rvert<\lvert p\rvert$. ناحیهٔ همگرایی همواره یک نوار (پیوسته‌زمان) یا حلقهٔ (گسسته‌زمان) بدون قطب است که با قطب‌ها محدود می‌شود، و سیستم را در یک نگاه دسته‌بندی می‌کند:

(برای سطر پایداری پیوسته‌زمان، $H$ باید سره نیز باشد — درجهٔ صورت $\le$ درجهٔ مخرج — وگرنه $h$ شامل $\delta'(t)$ می‌شود و سیستم مشتق می‌گیرد، که پایدار BIBO نیست.)

پاسخ فرکانسی، ناحیهٔ همگرایی را مشخص می‌کند. داده شدن $H(j\omega)$ — «تبدیل فوریهٔ $h$ برابر است با…» — اطلاعات اضافی است: تبدیل فوریه وجود دارد، پس ناحیهٔ همگرایی شامل محور $j\omega$ است و سیستم پایدار است. با ثابت شدن ناحیهٔ همگرایی به‌صورت نوار بدون قطبِ پیرامون محور، یک‌طرفه بودن هر جمله اجباری می‌شود:

• هر قطب با $\operatorname{Re}\{p\}<0$ در سمت چپ ناحیهٔ همگرایی قرار دارد و یک جملهٔ راست‌سو $e^{pt}u(t)$ می‌دهد؛
• هر قطب با $\operatorname{Re}\{p\}>0$ در سمت راست ناحیهٔ همگرایی قرار دارد و یک جملهٔ چپ‌سو $-e^{pt}u(-t)$ می‌دهد.

بنابراین، برای یک پاسخ فرکانسی گویا،

«علّی»، «پایدار» و «قطبی در نیم‌صفحهٔ راست» هرگز نمی‌توانند هم‌زمان برقرار باشند: هر دو تا را که برگزینید سومی نقض می‌شود. در حالت گسسته‌زمان، «نیم‌صفحهٔ چپ/راست» را با «درون/بیرون دایرهٔ واحد» جایگزین کنید.

وارون‌پذیری سیستم LTI در حوزهٔ تبدیل. سیستم وارون باید در $H\,H_i = 1$ صدق کند، پس

• صفر روی محور، وارون‌پذیری را از بین می‌برد. اگر $H(j\omega_0)=0$ به ازای یک $\omega_0$ حقیقی برقرار باشد، ورودی کران‌دار و ناصفر $x(t)=e^{j\omega_0 t}$ یک تابع ویژه با خروجی $H(j\omega_0)e^{j\omega_0 t}\equiv 0$ است — که از ورودی صفر قابل تمایز نیست. همین مطلب برقرار است اگر $H$ روی یک باند کامل صفر شود (فیلترهای ایده‌آل). در گسسته‌زمان: صفری روی دایرهٔ واحد.
• نبود صفر روی محور $\Rightarrow$ وارون‌پذیر. اگر $H(j\omega)\ne 0$ برای هر $\omega$ حقیقی برقرار باشد (و $H$ با $\omega\to\infty$ به صفر میل نکند)، آنگاه $1/H$ قطبی روی محور ندارد، پس با انتخاب ناحیهٔ همگرایی $H_i$ پیرامون محور، یک وارون پایدار به دست می‌آید. صفرِ خارج از محور آسیبی به وارون‌پذیری نمی‌زند؛ تنها یک‌طرفه بودن وارون را تعیین می‌کند: وارون پایدار علّی است اگر و تنها اگر همهٔ صفرهای $H$ در $\operatorname{Re}\{s\}<0$ باشند.
• کمینه‌فاز. یک سیستم علّی پایدار، وارون علّی پایدار دارد اگر و تنها اگر همهٔ قطب‌ها و صفرهای آن در $\operatorname{Re}\{s\}<0$ باشند (گسسته‌زمان: درون دایرهٔ واحد).
• $H$ اکیداً سره (مثلاً $\tfrac{1}{s+a}$) همچنان وارون‌پذیر است، اما وارون آن ($\tfrac{d}{dt}+a$) یک مشتق‌گیر در خود دارد و پایدار BIBO نیست.

قرارداد پشت این گزاره‌ها آن است که ورودی‌ها سیگنال‌های کران‌دار (یا دارای تبدیل فوریه) هستند؛ نمایی‌های رشدکننده‌ای مانند $e^{z_0t}$ در یک صفرِ خارج از محور $z_0$ به‌عنوان ورودی پذیرفته نمی‌شوند.

بسته بودن نسبت به اتصال — کدام ویژگی‌ها هنگام ترکیب بلوک‌ها (اتصال سری، جمع موازی، یا یک بلوک غیرخطی بدون حافظه مانند ضرب‌کنندهٔ $w = u\cdot v$) حفظ می‌شوند:

وارون‌پذیری اتصال سری. برای $\mathcal{T}=\mathcal{T}_2\mathcal{T}_1$ (ابتدا $\mathcal{T}_1$، سپس $\mathcal{T}_2$): اگر $\mathcal{T}_1$ دو ورودی متفاوت را به یک سیگنال میانی یکسان ببرد، هیچ چیز در ادامهٔ مسیر نمی‌تواند آن‌ها را از هم جدا کند، پس

یک طبقهٔ وارون‌پذیر در هر جای زنجیره، هرگز طبقهٔ وارون‌ناپذیرِ پیش از خود را نجات نمی‌دهد.

طبقهٔ بازگشتی (فیدبکی). یک رابطهٔ بازگشتی علّی مرتبهٔ اول که با سیگنال $w$ تحریک می‌شود و از حالت سکون اولیه آغاز می‌کند، به کانولوشن با $a^{n}u[n]$ باز می‌شود:

این طبقه پایدار BIBO است اگر و تنها اگر $\lvert a\rvert<1$ (مرتبهٔ $N$: همهٔ ریشه‌های چندجمله‌ای مشخصه درون دایرهٔ واحد)، و همواره وارون‌پذیر است، به کمک رابطهٔ غیربازگشتی $w[n] = y[n]-a\,y[n-1]$. همتای پیوسته‌زمان $\dot y + a y = w$ دارای $h(t)=e^{-at}u(t)$ و کران $W/a$ برای $a>0$ است.

الگویی که باید به خاطر سپرد: علّی بودن و کران‌داری مقاوم‌اند — از هر بلوک بدون حافظه‌ای، خطی یا غیرخطی، عبور می‌کنند — در حالی که خطی بودن و وارون‌پذیری شکننده‌اند و تنها یک حاصل‌ضرب دو مسیر سیگنال هر دو را از بین می‌برد.

۳. روش: چگونه یک سیستم داده‌شده را گام‌به‌گام بیازماییم

گام ۰ — عملگر را به‌صورت صریح بنویسید، مثلاً $y(t) = g\big(t,\,x(\alpha t + \beta),\,\ldots\big)$، و هر جایی را که $t$ بیرون از آرگومان ورودی ظاهر می‌شود یادداشت کنید.

گام ۱ — خطی بودن. ورودی $x = a x_1 + b x_2$ را اعمال و بسط دهید. به دنبال عوامل مخرب بگردید: توان‌ها یا حاصل‌ضرب‌های ورودی ($x^2$، $x_1x_2$، $x\,\dot{x}$)، $|x|$، $\operatorname{sgn} x$، $\cos(x)$، و ثابت‌های جمع‌شونده ($y = 2x+3$ خطی نیست). ضرب در یک سیگنال ثابت و مستقل از ورودی یا در $t$ بی‌ضرر است — سیستم همچنان خطی است.

گام ۲ — تغییرناپذیری با زمان. دو طرف را جداگانه محاسبه کنید:

• $y_{\text{shift-in}}(t) = \mathcal{T}\{x(\cdot - t_0)\}$: سیگنال ورودی را با نسخهٔ انتقال‌یافتهٔ آن جایگزین کنید، اما به هیچ $t$ صریحی دست نزنید؛
• $y_{\text{shift-out}}(t) = y(t-t_0)$: جایگذاری $t \to t-t_0$ را همه‌جا انجام دهید، از جمله در $t$های صریح.

برابری برای همهٔ $x, t_0$ $\Rightarrow$ تغییرناپذیر با زمان. دو نشانهٔ هشدار ساختاری برای تغییرپذیری با زمان: ضریبی صریح بر حسب $t$ یا $n$ (مثلاً $t\,x(t)$، $n\,x[n]$، $\cos(\omega_0 t)x(t)$) و آرگومانی با مقیاس‌بندی/وارونگی زمانی ($x(2t)$، $x(-t)$، $x(t^2)$).

گام ۳ — حافظه و علّی بودن. بپرسید کدام زمان‌های ورودی در $y(t_0)$ دخیل‌اند. آرگومان‌های $t-t_d$ با $t_d>0$ حافظهٔ علّی هستند؛ $t+t_d$، $x(-t)$ (هرگاه $t<0$ آینده را می‌خواند)، $x(2t)$ (هرگاه $t>0$ آینده را می‌خواند) یا هر انتگرالی که از $t$ فراتر برود غیرعلّی است.

گام ۴ — پایداری BIBO. برای اثبات آن، کران‌ها را زنجیره کنید: $|x|\le M \Rightarrow |y| \le \ldots < \infty$. برای رد آن، یک ورودی کران‌دار با خروجی بی‌کران ارائه دهید — ورودی‌های آزمون استاندارد عبارت‌اند از $x \equiv 1$ (انتگرال‌گیرها، بهرهٔ $t$)، $x = u(t)$، و $x(t) = \operatorname{sgn} h(-t)$ برای بلوک‌های LTI. مراقب باشید: بهره‌ای که با $t$ یا $n$ رشد می‌کند ناپایدار است، هرچند خطی و علّی باشد.

گام ۵ — وارون‌پذیری. یا وارون را صریحاً بسازید، یا از روش تفاضل استفاده کنید: برای یک سیستم خطی، به دنبال $d$ ناصفری با $\mathcal{T}\{d\}=0$ بگردید؛ وجود هر سیگنال پوچ این‌چنینی یعنی $x$ و $x+d$ از هم قابل تمایز نیستند. برای بلوک‌های غیرخطی، از یک‌به‌یک نبودن نگاشت نقطه‌ای بهره بگیرید ($y=x^2$: $\pm x$ بر هم می‌افتند).

گام ۶ — سیستم LTI داده‌شده با $H$. (i) $s=j\omega$ (یا $z=e^{j\omega}$) را جایگذاری کنید و قطب‌ها و صفرها را فهرست کنید. (ii) ناحیهٔ همگرایی را از روی داده‌ها تعیین کنید: «پاسخ فرکانسی / تبدیل فوریه / پایدار» $\Rightarrow$ ناحیهٔ همگرایی شامل محور است؛ «علّی» $\Rightarrow$ ناحیهٔ همگرایی در سمت راست راست‌ترین قطب است. (iii) علّی بودن را از روی ناحیهٔ همگرایی بخوانید، یا به کسرهای جزئی تجزیه کنید و هر جمله را با همان یک‌طرفه بودنی که ناحیهٔ همگرایی حکم می‌کند وارون کنید. (iv) برای وارون‌پذیری، به دنبال صفری از $H$ روی محور بگردید؛ اگر چنین صفری نباشد، $H_i=1/H$ وارون است، و ناحیهٔ همگرایی خودِ آن (پیرامون محور) نشان می‌دهد که علّی است یا نه.

گام ۷ — معادلهٔ تفاضلی/دیفرانسیل غیرخطی. آن را به یک اتصال سری تجزیه کنید: یک طبقهٔ جلویی $w = f(x)$ که همهٔ غیرخطی بودن را در بر دارد، و به دنبال آن یک رابطهٔ بازگشتی LTI به‌صورت $y = w + a\,y[n-1]$. سپس (i) پایداری: $\lvert w\rvert$ را از روی $\lvert x\rvert\le B$ کران‌دار کنید و در بهرهٔ رابطهٔ بازگشتی $\tfrac{1}{1-\lvert a\rvert}$ ضرب کنید — سیستم پایدار است اگر و تنها اگر طبقهٔ جلویی ورودی‌های کران‌دار را کران‌دار نگه دارد و قطب‌های رابطهٔ بازگشتی درون دایرهٔ واحد باشند؛ (ii) وارون‌پذیری: رابطهٔ بازگشتی همواره با $w[n]=y[n]-a\,y[n-1]$ خنثی می‌شود، پس کل پرسش این است که آیا $x$ را می‌توان از $w$ بازیابی کرد یا نه. اگر $x$ تنها از طریق یک ترکیب از نوع زوج — $x^{2}[n]$، $\lvert x[n]\rvert$، $x[n]\,x[n-k]$ — وارد شود، آنگاه $x$ و $-x$ بر هم می‌افتند و سیستم وارون‌ناپذیر است.

۴. مثال‌های کوتاه حل‌شده

۴.۱ سیستمی که در حوزهٔ زمان داده شده است

سیستم گسسته‌زمان زیر را دسته‌بندی کنید

$y[n] \;=\; n\,x[n] \;+\; x[n-1].$

خطی بودن. با $x = a x_1 + b x_2$: $\;n(ax_1[n]+bx_2[n]) + (ax_1[n-1]+bx_2[n-1]) = a\,y_1[n] + b\,y_2[n]$. ضریب‌های $n$ و $1$ به ورودی وابسته نیستند، پس برهم‌نهی برقرار است — خطی.

تغییرناپذیری با زمان. انتقال در ورودی: $\mathcal{T}\{x[\cdot-n_0]\} = n\,x[n-n_0] + x[n-n_0-1]$. انتقال در خروجی: $y[n-n_0] = (n-n_0)\,x[n-n_0] + x[n-n_0-1]$. این دو به اندازهٔ $n_0\,x[n-n_0] \ne 0$ با هم تفاوت دارند، پس سیستم تغییرپذیر با زمان است (مقصر، بهرهٔ صریح $n$ است).

حافظه / علّی بودن. $y[n]$ از $x[n]$ و $x[n-1]$ استفاده می‌کند: حافظه دارد، اما تنها از گذشته، پس علّی است.

پایداری BIBO. ورودی کران‌دار $x[n] \equiv 1$ ($M=1$) را در نظر بگیرید. آنگاه $y[n] = n+1$ که با $n \to \infty$ بی‌کران است — پایدار BIBO نیست. (یک سیستم خطی و علّی همچنان می‌تواند ناپایدار باشد؛ بهرهٔ رشدکنندهٔ $n$ کافی است.)

وارون‌پذیری. سیستم خطی است، پس به دنبال یک سیگنال پوچ $d \ne 0$ با $n\,d[n] + d[n-1] = 0$ برای همهٔ $n$ بگردید. در $n=0$ این رابطه $d[-1]=0$ را می‌دهد، و پیمودن آن به عقب $d[n]=0$ را برای همهٔ $n<0$ تحمیل می‌کند. رو به جلو، $d[n] = -d[n-1]/n$ برای $n\ge 1$ نتیجه می‌دهد

$d[n] = \frac{(-1)^n}{n!}\,d[0], \qquad n \ge 0,$

که در آن $d[0]$ آزاد است. پس $x$ و $x + d$ به ازای هر $d[0] \ne 0$ خروجی‌های یکسان تولید می‌کنند: سیستم وارون‌پذیر نیست — معادلهٔ $n=0$ یعنی $y[0]=x[-1]$ اصلاً $x[0]$ را به‌تنهایی نمی‌بیند.

نتیجه: خطی، تغییرپذیر با زمان، علّی، با حافظه، ناپایدار BIBO، وارون‌ناپذیر.

۴.۲ سیستم LTI که با پاسخ فرکانسی‌اش داده شده است

یک سیستم LTI دارای $H(j\omega) = \dfrac{j\omega-3}{j\omega-1}$ است. علّی بودن، پایداری و وارون‌پذیری آن را تعیین کنید.

قطب‌ها، صفرها، ناحیهٔ همگرایی. با $s=j\omega$: $H(s)=\dfrac{s-3}{s-1}$، قطب در $s=1$، صفر در $s=3$. دو ناحیهٔ همگرایی ممکن عبارت‌اند از $\operatorname{Re}\{s\}>1$ و $\operatorname{Re}\{s\}<1$؛ پاسخ فرکانسی وجود دارد، پس ناحیهٔ همگرایی باید شامل محور $j\omega$ باشد: $\operatorname{Re}\{s\}<1$. سیستم پایدار است.

علّی بودن. ناحیهٔ همگرایی در سمت چپ قطب قرار دارد، پس $h$ چپ‌سو است. به‌طور صریح،

با استفاده از $-e^{t}u(-t)\leftrightarrow \tfrac{1}{s-1}$ روی همان ناحیهٔ همگرایی. چون $h(t)\ne 0$ برای $t<0$، سیستم غیرعلّی است. (انتخاب علّی $\delta(t)-2e^{t}u(t)$ بی‌کران رشد می‌کند و تبدیل فوریه ندارد.)

وارون‌پذیری. $\lvert H(j\omega)\rvert^{2} = \dfrac{\omega^{2}+9}{\omega^{2}+1}$ هرگز صفر نمی‌شود و به $1$ میل می‌کند، پس سیستم وارون‌پذیر است، با

صفر $H$ در $s=3$ در نیم‌صفحهٔ راست است، پس این وارون پایدار خود غیرعلّی است — اما وجود دارد، و وارون‌پذیری چیزی بیش از این نمی‌خواهد.

مقایسه. $H(j\omega)=\dfrac{j\omega}{j\omega+2}$ تنها قطب خود را در $s=-2$ دارد (علّی و پایدار) اما صفری روی محور در $\omega=0$ دارد: هر ورودی ثابت $y\equiv 0$ می‌دهد، پس وارون‌پذیر نیست.

۴.۳ یک سیستم بازگشتی غیرخطی

یک سیستم علّی از $y[n] = x[n]\,x[n-2] - \tfrac{1}{3}\,y[n-1]$ پیروی می‌کند.

تجزیه. $w[n]=x[n]\,x[n-2]$ (غیرخطی، با حافظه)، سپس $y[n] = w[n] - \tfrac13 y[n-1]$ (LTI، $a=-\tfrac13$)، پس

پایداری. اگر $\lvert x[n]\rvert\le B$ آنگاه $\lvert w[n]\rvert\le B^{2}$ و $\lvert y[n]\rvert \le \dfrac{B^{2}}{1-\frac13} = \dfrac{3B^{2}}{2}$ — پایدار BIBO.

وارون‌پذیری. جایگزینی $x$ با $-x$، $w$ و در نتیجه $y$ را بدون تغییر می‌گذارد؛ همچنین $x[n]=\delta[n]$ نتیجه می‌دهد $w\equiv 0$ و $y\equiv 0$، درست مانند ورودی صفر. وارون‌پذیر نیست — هرچند رابطهٔ بازگشتی به‌تنهایی وارون‌پذیر است ($w[n]=y[n]+\tfrac13 y[n-1]$).

سایر ویژگی‌ها. دو برابر کردن $x$، $y$ را چهار برابر می‌کند: غیرخطی. نه $n$ صریحی وجود دارد و نه مقیاس‌بندی زمانی: تغییرناپذیر با زمان. از $x[n-2]$ و $y[n-1]$ استفاده می‌کند: علّی، با حافظه.

دو گونهٔ یک‌خطی. $y[n]=x^{3}[n]+\tfrac12 y[n-1]$ پایدار و وارون‌پذیر است، زیرا مکعب یک‌به‌یک است: $x[n]=\sqrt[3]{\,y[n]-\tfrac12 y[n-1]\,}$. و $y[n]=x[n]\,x[n-1]+2\,y[n-1]$ ناپایدار است: ورودی کران‌دار $x[n]=\delta[n]+\delta[n-1]$ نتیجه می‌دهد $w[n]=\delta[n-1]$ و $y[n]=2^{\,n-1}u[n-1]$.

۵. گونه‌های رایج و حالت‌های خاص

• غیرخطی‌های بدون حافظه — $y = x^2$، $y=|x|$، $y=\operatorname{sgn}(x)$: غیرخطی، تغییرناپذیر با زمان، بدون حافظه (و در نتیجه علّی)، پایدار BIBO، و معمولاً وارون‌ناپذیر ($\pm x$ بر هم می‌افتند).
• ضرب در یک سیگنال ثابت — $y(t) = s(t)\,x(t)$ (مدولاتور، پنجره، نمونه‌بردار ایده‌آل با قطار ضربه): همواره خطی، زیرا $s$ به $x$ وابسته نیست؛ تغییرناپذیر با زمان اگر و تنها اگر $s$ ثابت باشد. هر حامل، پنجره یا قطار نمونه‌برداری آن را تغییرپذیر با زمان می‌کند. بدون حافظه، علّی؛ پایدار BIBO اگر و تنها اگر $s$ کران‌دار باشد.
• مقیاس‌بندی / وارونگی زمانی — $y(t)=x(\alpha t + \beta)$: خطی و پایدار BIBO؛ تغییرناپذیر با زمان تنها اگر $\alpha = 1$؛ علّی تنها اگر $\alpha=1,\ \beta \le 0$.
• سیستم‌های خطی نموی — $y = \mathcal{L}\{x\} + y_0$ با $\mathcal{L}$ خطی و $y_0 \ne 0$ ثابت (مثلاً $y=2x+3$، یا یک معادلهٔ دیفرانسیل با شرایط اولیهٔ ناصفر): خطی نیست، اما تفاضل دو پاسخ نسبت به تفاضل ورودی‌ها خطی است. یک معادلهٔ دیفرانسیل/تفاضلی تنها در شرط سکون اولیه یک سیستم LTI تعریف می‌کند.
• انباشتگر / انتگرال‌گیر — $y[n]=\sum_{k\le n}x[k]$، $y(t)=\int_{-\infty}^{t}x\,d\tau$: LTI، علّی، با حافظه، پایدار BIBO نیست ($h[n]=u[n]$ جمع‌پذیر نیست)؛ وارون‌پذیر (وارون آن تفاضل مرتبهٔ اول / مشتق است).
• فیلترهای ایده‌آل و تأخیرها — $y(t)=x(t-T)$ یک سیستم LTI، علّی برای $T\ge 0$، پایدار و وارون‌پذیر است. فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل LTI است اما غیرعلّی ($h = \operatorname{sinc}$ تا $t<0$ امتداد دارد)، به معنای دقیق پایدار BIBO نیست (تابع sinc مربع‌انتگرال‌پذیر است اما مطلقاً انتگرال‌پذیر نیست) و وارون‌ناپذیر است (محتوای خارج از باند را نابود می‌کند).
• سیستم‌های تمام‌گذر و غیرکمینه‌فاز — $H(s)=\dfrac{s-a}{s+a}$ ($a>0$) علّی، پایدار و وارون‌پذیر است ($\lvert H(j\omega)\rvert=1$ هرگز صفر نمی‌شود)، اما وارون پایدار آن $\dfrac{s+a}{s-a}$ غیرعلّی است. وارون‌پذیر بودن به معنای «داشتن وارون علّی پایدار» نیست.
• مشتق‌گیر / فیلتر شکاف — $H(s)=s$ یا هر $H$ با صفری روی محور $j\omega$ (گسسته‌زمان: روی دایرهٔ واحد، مثلاً تفاضل مرتبهٔ اول $1-z^{-1}$) سینوسی متناظر (در اینجا مقدار ثابت) را نابود می‌کند، پس روی ورودی‌های کران‌دار وارون‌ناپذیر است.
• حلقه‌های فیدبک — پایدار بودن مسیر مستقیم، پایداری حلقهٔ بسته را تضمین نمی‌کند؛ پایداری باید از روی قطب‌های حلقه‌بستهٔ $H_{cl} = \frac{G}{1+GH}$ دوباره بررسی شود.

تلهٔ رایج: قطب‌ها علّی بودن و پایداری را تعیین می‌کنند؛ صفرهای روی محور وارون‌پذیری را تعیین می‌کنند. قطبی در نیم‌صفحهٔ راست، وقتی پاسخ فرکانسی داده شده است، به معنای غیرعلّی بودن است نه ناپایداری؛ صفری در نیم‌صفحهٔ راست سیستم را وارون‌پذیر باقی می‌گذارد. و در اتصال سری، یک رابطهٔ بازگشتی وارون‌پذیر که پس از حاصل‌ضربی مانند $x[n]x[n-1]$ آمده باشد چیزی را نجات نمی‌دهد — ابتدا $x$ را در برابر $-x$ بیازمایید.

نکتهٔ کنکوری: وقتی یک نمودار بلوکی می‌پرسد «کدام ویژگی همواره حفظ می‌شود؟»، بلوک‌ها را تحلیل نکنید — خودِ اتصال را بیازمایید. هر زیرسیستم را برابر همانی بگذارید تا نمودار به قانون اتصالش فروکاسته شود (ضرب‌کنندهٔ دو مسیر موازی به $y = x^2$ تبدیل می‌شود)، و تنها یک مثال نقض ویژگی‌های شکننده را حذف می‌کند. خطی بودن و وارون‌پذیری در نخستین حاصل‌ضرب دو مسیر سیگنال از بین می‌روند؛ علّی بودن و پایداری BIBO از هر بلوک بدون حافظه‌ای جان سالم به در می‌برند. و هرگز فراموش نکنید که «خطی + علّی» چیزی دربارهٔ پایداری نمی‌گوید — بهرهٔ $t$ یا $n$ خطی، علّی و به‌شدت ناپایدار است.