سوال ۸۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

چون $G$ دوری است، آبلی نیز هست، پس نگاشت توانی $\varphi(g) = g^{3}$ یک درون‌ریختی گروهی واقعی است: $\varphi(gh) = (gh)^{3} = g^{3}h^{3} = \varphi(g)\varphi(h)$.

هسته. بنویسید $G = \langle a\rangle$ با $|a| = 48$. آنگاه $\ker \varphi = \{\, g \in G : g^{3} = e \,\}.$ در یک گروه دوری از مرتبهٔ $n$، تعداد عناصر $g$ که $g^{k} = e$ برابر است با $\gcd(k, n)$ (این‌ها دقیقاً جواب‌های $kx \equiv 0 \pmod{n}$ هستند). در اینجا $k = 3$، $n = 48$، پس $|\ker \varphi| = \gcd(3, 48) = 3.$ به‌طور مشخص $\ker \varphi = \langle a^{16}\rangle$، یگانه زیرگروه از مرتبهٔ $3$ است.

تصویر. بنا بر قضیهٔ نخست یکریختی، $G/\ker \varphi \cong \operatorname{Im}\varphi$، از این رو $|\operatorname{Im}\varphi| = \frac{|G|}{|\ker \varphi|} = \frac{48}{3} = 16.$

بررسی چهار گزینه.

• گزینهٔ ۱: $|\ker \varphi| = 3$ — درست (همین الان نشان داده شد).
• گزینهٔ ۲: $|\operatorname{Im}\varphi| = 3\,|\ker \varphi|$ می‌داد $16 = 3 \cdot 3 = 9$ — نادرست.
• گزینهٔ ۳: $|\ker \varphi| = 16$ — نادرست؛ این اندازهٔ تصویر است، نه هسته.
• گزینهٔ ۴: $|\operatorname{Im}\varphi| = 48$ — نادرست؛ تصویر یک زیرگروه سره از مرتبهٔ $16$ است.

پس گزینهٔ درست گزینهٔ ۱ است.

نکتهٔ کنکوری: برای نگاشت توانی $g \mapsto g^{k}$ روی یک گروه دوری (یا هر گروه آبلی) از مرتبهٔ $n$، به یاد داشته باشید که $|\ker| = \gcd(k,n)$ و در نتیجه $|\operatorname{Im}| = n/\gcd(k,n)$. در اینجا $\gcd(3,48)=3$ بی‌درنگ هستهٔ $3$ و تصویر $16$ را می‌دهد — بدون نیاز به فهرست‌کردن عناصر.

توجه: گزینه‌های چاپ‌شده نمادهای $\varphi$ و $f$ را با هم به کار می‌برند؛ هر دو به همان نگاشت تعریف‌شده در صورت مسئله اشاره دارند — این یک غلط چاپی در دفترچهٔ اصلی است که در اینجا دقیقاً به همان صورت چاپ‌شده رونویسی شده است.