سوال ۸۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

گروه عناصر وارون‌پذیر (یکال‌های) $\mathbb{Z}_8$ برابر است با $\mathbb{Z}_8^{\times}=\{\, a\in\mathbb{Z}_8 : \gcd(a,8)=1 \,\}=\{1,3,5,7\},$ که یک گروه آبلی از مرتبهٔ $\varphi(8)=4$ تحت عمل ضرب به پیمانهٔ $8$ است.

تعیین ساختار. هر گروه از مرتبهٔ $4$ یا با گروه دوری $\mathbb{Z}_4$ یکریخت است یا با گروه چهارگانهٔ کلاین $V_4\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$. این دو با وجود یا نبود عنصری از مرتبهٔ $4$ از هم متمایز می‌شوند. مربع هر عنصر ناهمانی را به پیمانهٔ $8$ محاسبه می‌کنیم: $3^{2}=9\equiv 1,\qquad 5^{2}=25\equiv 1,\qquad 7^{2}=49\equiv 1 \pmod 8.$ هر عنصر ناهمانی مرتبهٔ $2$ دارد، پس هیچ عنصری از مرتبهٔ $4$ وجود ندارد. بنابراین این گروه دوری نیست؛ ناگزیر همان گروه چهارگانهٔ کلاین است: $\mathbb{Z}_8^{\times}\cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 = V_4.$

این با این واقعیت کلی نیز سازگار است که برای $k\ge 3$ داریم $\mathbb{Z}_{2^k}^{\times}\cong \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_{2^{k-2}}$؛ با $k=3$ این عبارت $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ را می‌دهد.

گزینه‌های (۱) و (۳) بی‌درنگ از نظر مرتبه رد می‌شوند ($|\mathbb{Z}_8^{\times}|=4$ است، نه $2$ یا $7$)، و گزینهٔ (۲) رد می‌شود زیرا هیچ عنصری مرتبهٔ $4$ ندارد. پاسخ گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: برای یک گروه از مرتبهٔ $4$ کافی است عناصر ناهمانی را به توان دو برسانید. اگر مربع عنصری $\ne e$ باشد، گروه $\mathbb{Z}_4$ است؛ و اگر همهٔ مربع‌ها برابر $e$ باشند، گروه چهارگانهٔ کلاین را دارید.