مبانی جبرAbstract Algebra
گروه‌ها، حلقه‌ها، میدان‌ها، همریختی‌ها و نظریهٔ ساختار آن‌ها.
کنکور ارشد ریاضی
مباحث
کارت‌ها · 7
جعبه‌ابزار گروه‌های متناهی که کنکور هر سال از آن استفاده می‌کند: مرتبهٔ عنصرها و ک.م.م در حاصل‌ضرب، ساختار کامل گروه‌های دوری (شبکهٔ زیرگروه‌ها، حساب ب.م.م/ک.م.م، یکه‌ها، خودریختی‌ها)، شمارش عنصرهای با مرتبهٔ داده‌شده، قضیهٔ لاگرانژ با هم‌مجموعه‌ها و فرمول حاصل‌ضرب، و مرکز به‌همراه قضیهٔ G/Z .
ایده‌آل‌ها، حلقه‌های خارج‌قسمتی، مشخصه و انتقال آن در امتداد پوشا‌ها، قضیهٔ یکریختی اول، رادیکال پوچ‌توان، دوگانگی یکه/مقسوم‌علیه صفر در حلقه‌های متناهی، حلقه‌های موضعی و قضیهٔ باقیماندهٔ چینی، همگی اول‌بودن، ماکسیمال‌بودن، یکه‌ها، پوچ‌توان‌ها، خودتوان‌ها، شمارش همریختی‌ها و هر تجزیهٔ حلقه به ضرب را به هم پیوند می‌دهند.
هم‌مجموعه‌ها گروه را به بلوک‌های هم‌اندازه افراز می‌کنند (لاگرانژ)؛ هسته‌ها، مرکزسازها و نرمال‌سازها اندیس‌ها را به مرتبهٔ تصویرها و اندازهٔ رده‌های مزدوجی تبدیل می‌کنند؛ مجموعه‌های حاصل‌ضرب از HK = H K / H∩K و قاعدهٔ لانهٔ کبوتری A + B > G ⟹ AB = G پیروی می‌کنند؛ زیرگروه‌های مشخصه (پایا تحت هر خودریختی) تعدی‌ناپذیری نرمال‌بودن را ترمیم می‌کنند؛ دو زیرگروه ماکسیمالِ آبلیِ متمایز از یک گروه ناآبلی دقیقاً در Z(G) اشتراک دارند؛ قضیهٔ تناظر و قضایای سیلو نرمال‌بودن و زیرگروه‌های با مرتبهٔ توان-اول را تعیین می‌کنند (یک زیرگروه سیلوِ p یگانه هر عنصر از مرتبهٔ توان-p را جذب می‌کند)؛ و در گروه‌های نامتناهی، بخش‌پذیری تعیین می‌کند که آیا اصلاً زیرگروه سره‌ای با اندیس متناهی می‌تواند وجود داشته باشد یا نه.
یک همریختی عمل گروه را حفظ می‌کند، هستهٔ آن یک زیرگروه نرمال و تصویرش یک زیرگروه است، و قضیهٔ یکریختی اول این دو را از طریق G/ker fcongim f به هم مرتبط می‌سازد.
ایده‌آل‌های یک‌طرفه در برابر دوطرفه (به‌همراه قاعدهٔ سطر/ستون در حلقهٔ ماتریسی)، حساب ایده‌آل‌ها، خارج‌قسمت‌ها، و سلسله‌مراتب PID / اقلیدسی / UFD که تعیین می‌کند چه هنگام هر ایده‌آلی اصلی است.
هر جایگشت به‌طور یکتا به دورهای مجزا تجزیه می‌شود، و همان نوع دوری به‌تنهایی مرتبهٔ آن (یک ک.م.م)، علامت آن، رستهٔ مزدوجی آن و تعداد جایگشت‌های هم‌شکل با آن را تعیین می‌کند — در حالی که مزدوج‌سازی و همریختی علامت به شما امکان می‌دهند تمام آرایه‌هایی را که یک سؤال کنکوری S_n پیرامون آن می‌پیچد پاک کنید.
G/N دقیقاً وقتی گروه است که Ntrianglelefteq G ؛ مرتبهٔ آن [G:N] است، زیرگروه‌هایش دقیقاً همان زیرگروه‌های G شامل N هستند، و شناسایی آن یعنی تطبیق مرتبه و سپس یک ناوردا — معمولاً «آیا هم‌مجموعه‌ای با مرتبهٔ کامل وجود دارد؟».