سوال ۸۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

همریختی مقداردهی

برای یک حلقهٔ جابه‌جایی $R$ و عنصر ثابت $a\in R$، نگاشت $\varphi_a : R[x]\to R,\qquad \varphi_a\big(f(x)\big)=f(a)$ همریختی مقداردهی (جای‌گذاری) نامیده می‌شود. این نگاشت یک همریختی حلقه‌ای است، زیرا جای‌گذاری با جمع و ضرب چندجمله‌ای‌ها سازگار است.

پوشایی

برای هر $r\in R$، چندجمله‌ای ثابت $f(x)=r$ را در نظر بگیرید. آنگاه $\varphi_a(r)=r$، پس هر عنصر $R$ در تصویر نگاشت قرار دارد. بنابراین $\operatorname{Im}\varphi_a = R,$ و $\varphi_a$ پوشا است. (به‌محض آنکه $R\neq 0$ باشد، این نگاشت یک‌به‌یک نیست: برای نمونه $x-a\neq 0$ ولی $\varphi_a(x-a)=0$. این نکته گزینه‌های ۳ و ۴ را رد می‌کند.)

هستهٔ نگاشت برابر $(x-a)$ است

بنا بر الگوریتم تقسیم در $R[x]$ — که هنگام تقسیم بر چندجمله‌ای تک‌جمله‌ای پیشرو یک (monic) یعنی $x-a$ معتبر است — هر $f(x)$ را می‌توان به‌صورت $f(x)=(x-a)\,q(x)+r,\qquad r\in R \text{ (یک ثابت، همان باقی‌مانده)}$ نوشت. با مقداردهی در $a$ به دست می‌آید $f(a)=r$. بنابراین $f\in\operatorname{Ker}\varphi_a \iff f(a)=0 \iff r=0 \iff (x-a)\mid f.$ این نشان می‌دهد که $\operatorname{Ker}\varphi_a=(x-a),$ یک ایده‌آل اصلی است که توسط تک‌عنصر $x-a$ تولید می‌شود. (به‌طور سازگار، قضیهٔ اول یکریختی نتیجه می‌دهد $R[x]/(x-a)\cong R$.)

نتیجه‌گیری

$\varphi_a$ پوشا است و $\operatorname{Ker}\varphi_a=(x-a)$ یک ایده‌آل اصلی است — گزینهٔ ۲.

نکتهٔ کنکوری: گزینه‌های ۱ و ۲ هر دو «پوشا» هستند، اما واقعیت ساختاری پرمحتوا همان هسته یعنی $(x-a)$ است. عبارت گزینهٔ ۱ که «$\operatorname{Im}\varphi_a$ یک ایده‌آل اصلی است» عبارتی بدیهی و بی‌محتواست — تصویر برابر تمام $R$، یعنی ایده‌آل واحد $(1)$ است — پس توصیف تمایزدهندهٔ مورد نظر نیست؛ هستهٔ $(x-a)$ همان پاسخ اصلی و بامحتواست.