سوال ۸۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

در گروه $G=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_8$ کار می‌کنیم که یک گروه آبلی از مرتبهٔ $|G|=2\cdot 8=16$ است و به‌صورت جمعی نوشته می‌شود.

گام ۱ — شناسایی $H$. مولدها عبارت‌اند از $a=(0,4)$ و $b=(1,2)$. زیرگروه دوری تولیدشده توسط $b=(1,2)$ را محاسبه می‌کنیم: مرتبهٔ $b$ برابر است با $\operatorname{lcm}(\operatorname{ord}(1),\operatorname{ord}(2))=\operatorname{lcm}(2,4)=4$ و $b=(1,2),\quad 2b=(0,4),\quad 3b=(1,6),\quad 4b=(0,0).$ پس $\langle b\rangle=\{(0,0),(1,2),(0,4),(1,6)\}$. توجه کنید که مولد دیگر یعنی $a=(0,4)=2b$ از پیش در $\langle b\rangle$ قرار دارد، بنابراین چیزی به آن نمی‌افزاید: $H=\langle (0,4),(1,2)\rangle=\langle (1,2)\rangle .$ چون $H$ توسط تنها عنصر $b$ از مرتبهٔ $4$ تولید می‌شود، دوری از مرتبهٔ ۴ است: $H\cong\mathbb{Z}_4 .$ (این گروه $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ نیست، زیرا $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ هیچ عنصری از مرتبهٔ $4$ ندارد.)

گام ۲ — ساختار $G/H$. بنا بر قضیهٔ لاگرانژ، $|G/H|=|G|/|H|=16/4=4$، پس $G/H$ یا $\mathbb{Z}_4$ است یا $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$. برای تعیین آن، به دنبال عنصری از مرتبهٔ $4$ در گروه خارج‌قسمتی می‌گردیم. هم‌مجموعهٔ $(0,1)$ را در نظر بگیرید: $2(0,1)=(0,2)\notin H,\qquad 3(0,1)=(0,3)\notin H,\qquad 4(0,1)=(0,4)\in H.$ پس $(0,1)+H$ در $G/H$ مرتبهٔ $4$ دارد، بنابراین $G/H$ عنصری از مرتبهٔ $4$ دارد و دوری است: $\frac{G}{H}\cong\mathbb{Z}_4 .$

نتیجه‌گیری. $H\cong\mathbb{Z}_4$ و $G/H\cong\mathbb{Z}_4$، که گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: پیش از فهرست‌کردن همهٔ هم‌مجموعه‌ها، بررسی کنید که آیا هم‌مجموعهٔ یک عنصر به مرتبهٔ کامل $|G/H|$ می‌رسد یا نه. یافتن تنها یک هم‌مجموعهٔ از مرتبهٔ $4$ بلافاصله ایجاب می‌کند که $G/H\cong\mathbb{Z}_4$ باشد و گروه کلاین چهارتایی را کنار می‌گذارد.