سوال ۷۱ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

جملهٔ عمومی سری را چنین می‌نویسیم: $u_n(x)=\frac{x}{x+(1-nx)^{2}}.$

جمله‌ها خوش‌تعریف‌اند. برای $x\ge 0$ مخرج $x+(1-nx)^2>0$ است (تنها در صورتی می‌توانست صفر شود که $x=0$ و $nx=1$ باشد). برای $x<0$ قرار می‌دهیم $t=-x>0$؛ آنگاه $x+(1-nx)^2=(1+nt)^2-t\ge (1+t)^2-t=1+t+t^2>0$. پس هیچ جمله‌ای روی $\mathbb{R}$ قطب ندارد.

گزینه‌های ۱ و ۲ — همگرایی نقطه‌ای (هر دو درست)

$x\neq 0$ را ثابت می‌گیریم. چون وقتی $n\to\infty$ داریم $(1-nx)^2=n^{2}x^{2}\left(1-\frac{1}{nx}\right)^{2}\sim n^{2}x^{2}$، نتیجه می‌شود $u_n(x)\sim \frac{x}{n^{2}x^{2}}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{n^{2}}.$ بنا بر آزمون مقایسهٔ حدی با سری همگرای $p$ی $\sum n^{-2}$، سری $\sum u_n(x)$ برای هر $x\neq 0$ به‌طور مطلق همگراست؛ و برای $x=0$ همهٔ جمله‌ها $0$ هستند. بنابراین سری روی تمام $\mathbb{R}$ همگرایی نقطه‌ای دارد — به‌ویژه روی $(1,+\infty)$ و روی $(-1,0)$. پس گزینه‌های ۱ و ۲ حکم‌های درستی‌اند.

گزینهٔ ۳ — همگرایی یکنواخت روی $\left[\tfrac12,1\right]$ (درست)

فرض کنید $x\in\left[\tfrac12,1\right]$ و $n\ge 3$. آنگاه $nx\ge \tfrac{3}{2}$، پس $nx-1\ge \tfrac{nx}{3}$ (هم‌ارز با $\tfrac{2nx}{3}\ge 1$). بنابراین $0\le u_n(x)\le \frac{x}{(1-nx)^{2}}\le \frac{x}{n^{2}x^{2}/9}=\frac{9}{n^{2}x}\le \frac{18}{n^{2}}=:M_n .$ چون $\sum M_n<\infty$، آزمون $M$ وایرشتراس همگرایی یکنواخت (و در واقع مطلقاً یکنواخت) را روی $\left[\tfrac12,1\right]$ نتیجه می‌دهد. پس گزینهٔ ۳ درست است.

گزینهٔ ۴ — همگرایی یکنواخت روی $\left[0,\tfrac12\right]$ (نادرست — پاسخ مسئله)

شرط لازم برای آنکه $\sum u_n$ روی مجموعهٔ $E$ به‌طور یکنواخت همگرا باشد (اعمال معیار کوشی یکنواخت روی یک جمله) این است که $\sup_{x\in E}\lvert u_n(x)\rvert \longrightarrow 0 .$ برای $n\ge 2$ قرار می‌دهیم $x_n=\dfrac{1}{n}\in\left[0,\tfrac12\right]$. آنگاه $1-nx_n=0$ و $u_n(x_n)=\frac{1/n}{1/n+0}=1 .$ پس $\sup_{[0,1/2]}u_n\ge 1\not\to 0$؛ یعنی سری نمی‌تواند روی $\left[0,\tfrac12\right]$ به‌طور یکنواخت همگرا باشد.

هم‌ارزاً، با قضیهٔ پیوستگی: همهٔ $u_n$ها پیوسته‌اند و روی $[0,\tfrac12]$ داریم $u_n\ge 0$، پس مجموع در $S(1/n)\ge u_n(1/n)=1$ صدق می‌کند در حالی که $S(0)=0$؛ بنابراین $S$ در $0$ ناپیوسته است، و این برای سری همگرای یکنواخت از توابع پیوسته ناممکن است.

توجه کنید که سری روی $\left[0,\tfrac12\right]$ به‌طور نقطه‌ای همگرا هست — تنها یکنواختی است که از بین می‌رود، زیرا «برآمدگی» به ارتفاع $1$ که جملهٔ $n$اُم می‌سازد با بزرگ‌شدن $n$ به سمت $0$ می‌لغزد.

بنابراین حکم نادرست، گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: برای یک سری تابعی روی مجموعه‌ای که بستار آن شامل نقطهٔ تمرکز جمله‌هاست، نخست شرط لازم و کم‌هزینهٔ $\sup_E\lvert u_n\rvert\to 0$ را با قراردادن نقطهٔ بیشینه‌ساز $u_n$ بیازمایید (اینجا $x=1/n$ که $(1-nx)^2$ را صفر می‌کند). اگر این شرط برقرار نباشد، همگرایی یکنواخت منتفی است و نیازی به آزمون $M$ نیست. حذف آن نقطهٔ بد (مانند $[\tfrac12,1]$) دوباره کران $O(1/n^{2})$ آزمون $M$ را برقرار می‌کند.