سوال ۷۲ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۰

واقعیت حاکم بر مسئله

برای یک نگاشت پیوسته $f : X \to Y$ نامساوی بنیادی بستار برقرار است:

$f\!\left(\overline{A}\right) \subseteq \overline{f(A)} \qquad \text{for every } A \subseteq X .$

(در واقع $\overline{f(A)}$ بسته است، پس بنا بر پیوستگی $f^{-1}\!\left(\overline{f(A)}\right)$ بسته است و شامل $A$ می‌باشد؛ بنابراین شامل $\overline{A}$ نیز هست، که دقیقاً همان شمول بالاست. در یک فضای متریک می‌توان استدلال دنباله‌ای کرد: $x\in\overline{A}$ دنباله‌ای $a_n\to x$ با $a_n\in A$ به دست می‌دهد و پیوستگی نتیجه می‌دهد $f(a_n)\to f(x)$، پس $f(x)\in\overline{f(A)}$.)

گزینهٔ ۲ درست است

فرض کنید $A \subseteq X$ چگال باشد، یعنی $\overline{A} = X$. با استفاده از پیوستگی و سپس پوشایی،

$Y \;=\; f(X) \;=\; f\!\left(\overline{A}\right) \;\subseteq\; \overline{f(A)} \;\subseteq\; Y .$

بنابراین $\overline{f(A)} = Y$: یعنی مجموعهٔ $f(A)$ در $Y$ چگال است. $\blacksquare$

هر دو فرض به کار رفته‌اند: پیوستگی شمول میانی را می‌دهد و پوشایی رابطهٔ $f(X)=Y$ را. (بدون پوشایی تنها نتیجه می‌گیریم که $f(A)$ در تصویر $f(X)$ چگال است.)

سه گزینهٔ دیگر نادرست‌اند

نگاشت پوشای پیوستهٔ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ را در نظر بگیرید که بازهٔ $[0,1]$ را به یک نقطه فرو می‌کاهد:

$f(x)=\begin{cases} x, & x \le 0,\\ 0, & 0 \le x \le 1,\\ x-1, & x \ge 1.\end{cases}$

این تابع پیوسته است (تکه‌ها در $x=0$ و $x=1$ با هم سازگارند) و بر $\mathbb{R}$ پوشاست، و $f^{-1}(\{0\}) = [0,1]$.

گزینهٔ ۱ (تصویر وارون یک مجموعهٔ چگال). مجموعهٔ $B=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ در $\mathbb{R}$ چگال است، اما $f^{-1}(B)=\mathbb{R}\setminus[0,1],\qquad \overline{f^{-1}(B)}=\mathbb{R}\setminus(0,1)\neq\mathbb{R},$ پس $f^{-1}(B)$ چگال نیست.

گزینهٔ ۴ (تصویر وارون یک مجموعهٔ هیچ‌جا چگال). مجموعهٔ $B=\{0\}$ در $\mathbb{R}$ هیچ‌جا چگال است، با این حال $f^{-1}(B)=[0,1]$ درون ناتهی دارد، پس هیچ‌جا چگال نیست (یک مجموعهٔ هیچ‌جا چگال در شرط $\operatorname{int}\overline{S}=\varnothing$ صدق می‌کند).

گزینهٔ ۳ (تصویر یک مجموعهٔ هیچ‌جا چگال). فرض کنید $g:[0,1]\to[0,1]$ تابع کانتور (پلکان شیطان) باشد: این تابع پیوسته و پوشاست و مجموعهٔ کانتور $C$ را بر تمام $[0,1]$ می‌نگارد، یعنی $g(C)=[0,1]$. مجموعهٔ کانتور هیچ‌جا چگال است (بسته با درون تهی)، اما تصویرش کل فضاست — یعنی تا حد ممکن از هیچ‌جا چگال بودن دور است.

نکتهٔ کنکوری: پیوستگی حکمی دربارهٔ تصاویر وارون مجموعه‌های باز است، اما تنها واقعیت بستاری که به شما می‌دهد رو به جلو عمل می‌کند: $f(\overline{A})\subseteq\overline{f(A)}$. پس چگالی توسط یک نگاشت پیوستهٔ پوشا به جلو منتقل می‌شود و هرگز به عقب کشیده نمی‌شود — و «هیچ‌جا چگالی» در هیچ‌یک از دو جهت حفظ نمی‌شود، زیرا یک نگاشت پیوسته می‌تواند مجموعه‌ای ضخیم را به یک نقطه فرو بکاهد (گزینهٔ ۴) یا مجموعه‌ای نازک را به کل فضا بگستراند (گزینهٔ ۳).