همگرایی یکنواخت و هم‌پیوستگی

فرض کنید تابع f:[∘,۱] با ضابطهٔ f(x)=∑_(n=۱)^(∞)dfrac sin(nx) n^α تعریف شود که α∈(۲,∞) . کدام گزینه درست است؟

فرض کنیم (X,d) یک فضای متریک فشرده و برای هر ninN ، f_n:XtoR تابعی پیوسته است. گزاره‌های زیر را در نظر می‌گیریم: الف ــ دنباله توابع f_n بر X همگرای یکنواخت است. ب ــ دنباله توابع f_n بر X هم‌پیوسته…

دنبالهٔ f_n : R^+ → R با ضابطهٔ f_n(x) = nx/(n^2 + x) تعریف می‌شود که R^+ = [۰, ∞) . کدام گزینه برای دنباله نادرست است؟

فرض کنید a_n دنباله‌ای از اعداد حقیقی نامنفی باشد. گزاره‌های زیر را در نظر می‌گیریم، (x ∈ R) : الف) اگر سری ∑_(n=1)^(∞) a_n sin(nx) همگرای یکنواخت باشد، آنگاه lim_(n→∞)(a_n + ⋯ + a_2n) = 0 . ب) اگر…

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع انتگرال‌پذیر ریمان بر [a ,b] است که به تابع f همگرای نقطه‌ای است. از کدام گزینه نتیجه می‌شود که f بر [a ,b] انتگرال‌پذیر ریمان و lim_(n→∞)∫_a^b f_n(x) dx = ∫_a^b f(x)…

فرض کنید دنباله توابع حقیقی مقدار f_n و g_n بر مجموعه E همگرای یکنواخت باشند. کدام گزینه درست است؟

توابع R→[0,1]:f_n ، ninN ، را با ضابطه f_n(x)= ∘, x∈[۲/n,۱] ; ۲-nx, x∈[۱/n,۲/n] ; nx, x∈[∘,۱/n] در نظر بگیرید. درباره دنباله f_n ، کدام مورد درست است؟

برای هر ninN تابع f_n(x)=dfrac x 1+nx^2 را بر R در نظر بگیرید. کدام مورد نادرست است؟

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع مشتق‌پذیر و یکنواخت همگرا بر R است. کدام دنباله یکنواخت همگرا است؟

فرض کنید f_n:[0,1]toR با ضابطهٔ f_n(t)=∫_(1/2)^1 x^t sin(nx) dx تعریف شده باشد. دربارهٔ دنبالهٔ f_n کدام مورد درست است؟

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع پیوسته بر R باشد که به‌طور نقطه‌ای به تابع g همگرا است. از کدام شرط زیر، پیوستگی تابع g بر R نتیجه می‌شود؟

فرض کنید تابع ناصفر f_0 بر بازه‌ی [0,1] پیوسته باشد و f_n(x)=∫_0^x f_(n-1)(t) dt (0≤ x≤ 1, n=1,2,…). کدام گزینه درباره‌ی همگرایی دنباله‌ی توابع f_n _(n=1)^(∞) بر [0,1] درست است؟

کدام تابع بر R مشتق‌پذیر است؟

مقدار سری ∑_(n=۱)^(∞)(∫_۱^۲frac x (۱+x)^n dx) کدام است؟

فرض کنید به‌ازای هر n ∈ N تابع f_n بر [۰,۱] پیوسته باشد و ∑_(n=۱)^(∞) f_n بر (۰,۱) یکنواخت‌همگرا باشد. کدام گزینه درست است؟

دنباله توابع f_n _(n=1)^(∞) بر R به‌صورت f_n(x) = max ۰,۱ - x - n تعریف می‌شود. کدام گزینه درباره دنباله f_n _(n=1)^(∞) نادرست است؟

فرض کنید به‌ازای هر ninN تابع f_n:[0,∞)toR با ضابطه f_n(x)=ln(nx+1)/(nx+2) تعریف شده است. کدام گزینه درباره دنباله f_n _(n=1)^(∞) و بازه‌های I=[0,1] و J=[1,∞) درست است؟

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع حقیقی کراندار بر مجموعه S باشد که بر S به تابع f یکنواخت همگرا است. کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید دنبالهٔ f_n بر (۰,۱] با ضابطهٔ زیر تعریف شود: f_۰(x)=xsin۱/x , f_n(x)=∫_۰^x f_(n-۱)(t)dt (n≥ ۱) کدام گزینه دربارهٔ سری توابع ∑_(n=۱)^(∞) f_n درست است؟

فرض کنید دنبالهٔ f_n بر [0,2π] یکنواخت همگرا به صفر باشد و به‌ازای هر x∈[0,2π] دنبالهٔ f_n(x) نزولی باشد. کدام گزینه درمورد سری ∑_(n=1)^(∞) f_n(x)sin nx درست است؟

فرض کنید به ازای هر n ∈ N ، f_n : [0, ∞) → R تابعی انتگرال‌پذیر باشد و F_n : [0, ∞) → R با ضابطهٔ F_n(x) = ∫_0^x f_n(t) dt تعریف شود. اگر دنبالهٔ f_n همگرای یکنواخت باشد، کدام گزینه درست است؟

دنبالهٔ توابع f_n ، با ضابطهٔ زیر تعریف می‌شود: f_n:[1,3/2]toR ; f_n(x)=(tan^n x)/(1+tan^n x) کدام گزینه دربارهٔ دنبالهٔ f_n درست است؟

فرض کنید (X,d) فضای متریک و x_(∘)∈ X . برای هر n ، تابع f_n بر X به‌صورت f_n(x)=frac d(x,x_(∘)) ۱+n d(x,x_(∘)) تعریف می‌شود. کدام گزینه درست است؟

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع پیوسته بر [0,1] باشد که به تابع پیوسته f نقطه‌وار همگرا است. کدام گزینه درست است؟

کدام گزینه جبر چگال C([-1,1]) است؟

فرض کنید تابع f:RtoR دارای خاصیت زیر باشد: به‌ازای هر ε>۰ تابعی یکنواخت پیوسته بر R مانند g وجود دارد به‌طوری که برای هر tinR ، f(t)-g(t) <ε . کدام گزینه درست است؟

دنباله توابع f_n(x) = e^(-nx)(x+1/n) بر [۰,۱] تعریف شده است. کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید تابع f : [0,1] → R پیوسته و غیرثابت است. کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید f_n دنباله‌ای از توابع نامنفی و پیوسته بر R باشد که به‌ازای هر x ∈ R ، ∑_(n=1)^(∞) f_n(x) = 1 . کدام گزینه درست است؟

فرض کنید تابع f:[۰,۱]toR پیوسته باشد و دنبالهٔ توابع f_n بر [۰,۱] با ضابطهٔ زیر تعریف شود: f_n(x)=frac f(x)sin x^n ۱+n^αx^m که در آن α>۰ و minN . در این‌صورت دنبالهٔ f_n :

فرض کنید X یک فضای متریک و f_n : X → X دنباله‌ای هم‌پیوسته از توابع بر X باشد که نقطه‌وار به تابع f : X → X همگرا است. کدام شرط برای پیوستگی یکنواخت f ضروری است؟

مقدار lim_(n→∞)∫_0^πfrac n+sin(nx) 3n+sin^2(nx) dx ، کدام است؟

کدام گزینه دربارهٔ دنباله‌های توابع A= ۱/(cosh(x+n)) _(n=۱)^(∞) و B= dfrac ۱ ۱+sinh^۲(۱-n^۲x^۲) _(n=۱)^(∞) بر R درست است؟

فرض کنید f_1(x)=1+sin x و به‌ازای هر ninN ، f_(n+1)(x)=√(2+f_n(x)) کدام گزینه درباره دنباله f_n درست است؟

دربارهٔ سری ∑_(n=1)^(∞)dfrac x x+(1-nx)^2 کدام گزینه <u>نادرست</u> است؟

فرض کنید (X,d) و (Y,ρ) فضاهای متریک باشند. تابع f : X → Y و دنبالهٔ f_n از توابع بر X به توی Y مفروض‌اند. کدام‌یک از گزینه‌ها تعریف همگرایی یکنواخت f_n → f بر X است؟ (البته در فرمول‌های منطقی ε و δ…

فرض کنید α > 0 . در مورد سری توابع ∑_(n=1)^(∞) frac (-1)^n sqrt n^α+x^2 کدام گزینه درست است؟

در فضای C[-1,1] با متر یکنواخت d(f,g)=sup_( x ≤ 1) f(x)-g(x) ، کدام مجموعه بسته نیست؟

فرض کنید c>0 و f_n(x)=n^cx(1-x^2)^n ( x∈[0,1] و n≥ 1 ). کدام گزینه نادرست است؟

فرض کنید g:[۰,۱]toR تابعی پیوسته غیرثابت باشد به‌طوری که g(۱)=۰ . دنبالهٔ f_n از توابع بر [۰,۱] را با ضابطهٔ f_n(x)=x^n g(x) (x∈[۰,۱]) درنظر می‌گیریم. کدام گزینه در مورد f_n درست است؟

فرض کنید f:RtoR تابعی مشتق‌پذیر است و برای هر ninN ، g_n(x)=n(f(x+1/n)-f(x)) . کدام گزینه درست است؟