سوال ۲۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

گام ۱ — بازیابی $f$ از معادلهٔ تابعی

قرار می‌دهیم $y = f(x)$. رابطهٔ $f^2(x) = 6f(x) + x^2 - 4x - 5$ (که در آن $f^2(x)$ به‌معنای $[f(x)]^2$ است) به شکل زیر درمی‌آید:

$y^2 - 6y = x^2 - 4x - 5.$

با افزودن $9$ به هر دو طرف، مربع را کامل می‌کنیم:

$y^2 - 6y + 9 = x^2 - 4x + 4 \quad\Longrightarrow\quad (y - 3)^2 = (x - 2)^2.$

پس $y - 3 = \pm (x - 2)$، یعنی

$f(x) = x + 1 \qquad\text{or}\qquad f(x) = 5 - x.$

از آنجا که $f$ اکیداً نزولی است، باید مقدار زیر را برگزینیم:

$\boxed{f(x) = 5 - x.}$

(بررسی: $(5-x)^2 = x^2 - 10x + 25 = 6(5-x) + x^2 - 4x - 5.$ ✓)

گام ۲ — ساده‌سازی اجزای حد

$f$ یک تابع درگیر (وارون‌گر خودش) است: $f(f(x)) = 5 - (5 - x) = x$. همچنین

$f(1) = 5 - 1 = 4, \qquad x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1).$

بنابراین صورت و مخرج عبارت‌اند از:

$\text{num} = (x-4)(x+1)\,f(x) = (x-4)(x+1)(5-x), \qquad \text{den} = f(f(x)) - f(1) = x - 4.$

گام ۳ — ساده‌کردن و محاسبه

هر دو در $x = 4$ صفر می‌شوند (صورتِ مبهم $\tfrac{0}{0}$). عامل مشترک $x - 4$ را ساده می‌کنیم:

$\frac{(x-4)(x+1)(5-x)}{x-4} = (x+1)(5-x)\quad (x \neq 4).$

اکنون $x \to 4$ را در نظر می‌گیریم:

$\lim_{x\to 4}(x+1)(5-x) = (4+1)(5-4) = 5\cdot 1 = 5.$

پاسخ برابر ۵ است (گزینهٔ ۱).

نکتهٔ کنکوری: تشخیص اینکه $f(x)=5-x$ یک تابع درگیر است، بی‌درنگ $f(f(x))-f(1)$ را به $x-4$ تبدیل می‌کند و این عامل با عامل $(x-4)$ نهفته در $x^2-3x-4$ منطبق می‌شود؛ به این ترتیب کل حد بدون استفاده از قاعدهٔ هوپیتال فرومی‌ریزد.