سوال ۲۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

خواندن فرض

تنها اطلاعاتی که در اختیار داریم این است که $\lim_{h\to 0}\big(f(1+h)-f(1-h)\big)=0.$ این یک شرط بسیار ضعیف و متقارن است: تنها دو نزدیک‌شدن یک‌طرفه به $x=1$ را نسبت به یکدیگر مقایسه می‌کند. به‌طور خاص، هر تابعی که حول $x=1$ زوج باشد (یعنی $f(1+t)=f(1-t)$ برای هر $t$) عبارت داخل کروشه را به‌طور همانی برابر $0$ می‌کند و بنابراین به‌طور خودکار فرض را برآورده می‌سازد. همین آزادی برای ابطال گزینه‌های (۱) تا (۳) کافی است.

گزینهٔ ۱ نادرست است

تابع زیر را در نظر بگیرید: $f(x)=\begin{cases} \sin\dfrac{1}{|x-1|}, & x\neq 1,\\ 0, & x=1.\end{cases}$ این تابع حول $x=1$ زوج است، پس $f(1+h)-f(1-h)=0$ و فرض برقرار است. این تابع کراندار است ($|f|\le 1$)، با این حال $\lim_{x\to 1}\sin\frac{1}{|x-1|}$ موجود نیست — در سراسر بازهٔ $[-1,1]$ نوسان می‌کند. بنابراین کرانداری وجود حد را الزام نمی‌کند.

گزینهٔ ۲ نادرست است

تابع زیر را در نظر بگیرید: $f(x)=\frac{\sin^{2}\!\big(1/|x-1|\big)}{|x-1|}\quad(x\neq 1),\qquad f(1)=0.$ باز هم $f$ حول $1$ زوج است، پس فرض برقرار است. در نزدیکی $x=1$ این تابع بی‌کران است (هرجا که $\sin^{2}=1$ باشد مقدار آن برابر $1/|x-1|\to\infty$ است)، با این حال در نقاط $x=1\pm\frac{1}{n\pi}$ که به $1$ انباشته می‌شوند نیز برابر $0$ است. از این رو $\lim_{x\to 1}f(x)$ نه $+\infty$ است و نه $-\infty$. پس بی‌کران بودن در هر همسایگی، حد بی‌نهایت را الزام نمی‌کند.

گزینهٔ ۳ نادرست است

تابع گزینهٔ ۱ فرض را برآورده می‌کند اما در $x=1$ ناپیوسته است، پس پیوستگی تضمین نمی‌شود.

گزینهٔ ۴ درست است

فرض هم با موجود بودن حد سازگار است (تابع $f\equiv 0$ یا هر تابع پیوستهٔ دیگری را بگیرید که برای آن $\lim_{x\to 1}f(x)=f(1)$ است) و هم با موجود نبودن حد (مثال نوسانی بالا). از آنجا که یک شرط متقارن به‌تنهایی با هر دو سناریو سازگار است، هیچ اطلاعاتی دربارهٔ موجود بودن یا نبودن $\lim_{x\to 1}f(x)$ به دست نمی‌دهد: هیچ حکم قطعی نمی‌توان داد. این دقیقاً گزینهٔ ۴ است.

تلهٔ رایج: $\lim_{h\to 0}\big(f(1+h)-f(1-h)\big)=0$ با موجود بودن $\lim_{x\to 1}f(x)$ یکی نیست. این شرط تنها می‌گوید که نزدیک‌شدن‌های چپ و راست یکدیگر را دنبال می‌کنند؛ هر دو ممکن است همچنان هماهنگ با هم نوسان کنند یا واگرا شوند.