سوال ۲۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۴

به‌دست آوردن فرم بسته برای $x_n$

حاصل‌ضرب را با جدا کردن صورت‌ها و مخرج‌ها بنویسید: $x_n = \prod_{k=1}^{n}\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k} = \frac{\prod_{k=1}^{n}(k+1)^{k}}{\prod_{k=1}^{n}k^{k}}.$

صورت. با تغییر اندیس $j=k+1$: $\prod_{k=1}^{n}(k+1)^{k} = \prod_{j=2}^{n+1} j^{\,j-1} = \prod_{j=1}^{n+1} j^{\,j-1},$ که افزودن $j=1$ بی‌ضرر است، زیرا $1^{0}=1$.

نسبت. جملهٔ $j=n+1$ را جدا می‌کنیم: $\prod_{j=1}^{n+1} j^{\,j-1} = (n+1)^{n}\prod_{j=1}^{n} j^{\,j-1}.$ بنابراین $x_n = \frac{(n+1)^{n}\prod_{j=1}^{n} j^{\,j-1}}{\prod_{k=1}^{n}k^{k}} = (n+1)^{n}\prod_{k=1}^{n} k^{\,(k-1)-k} = (n+1)^{n}\prod_{k=1}^{n} k^{-1} = \frac{(n+1)^{n}}{n!}.$

وارسی صحت: $x_1 = \tfrac{2^1}{1!}=2$ و $x_2 = \tfrac{3^2}{2!}=\tfrac{9}{2} = \left(\tfrac21\right)^1\left(\tfrac32\right)^2$. ✓

گرفتن ریشهٔ $n$-اُم

$\sqrt[n]{x_n} = \frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}}.$

بنا بر فرمول استرلینگ $n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}$، پس $\sqrt[n]{n!} = \frac{n}{e}\,(2\pi n)^{1/(2n)} \sim \frac{n}{e},$ زیرا $(2\pi n)^{1/(2n)}\to 1$. از این رو $\sqrt[n]{x_n} = \frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}} \sim \frac{n+1}{n/e} = e\cdot\frac{n+1}{n} \longrightarrow e.$

استدلال جایگزین (سزارو / کوشی)

می‌توان از استرلینگ صرف‌نظر کرد. با لگاریتم‌گیری، $\frac{1}{n}\ln x_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} k\ln\!\left(1+\frac1k\right) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} a_k,\qquad a_k := k\ln\!\left(1+\frac1k\right).$ چون $a_k = 1 - \tfrac{1}{2k} + O(k^{-2}) \to 1$، میانگین سزاروی آن نیز به $1$ میل می‌کند، پس $\tfrac1n\ln x_n \to 1$ و $\sqrt[n]{x_n}\to e^{1}=e$.

پاسخ: $e$ (گزینهٔ ۲).

نکتهٔ کنکوری: برای حاصل‌ضرب $\prod\left(\frac{k+1}{k}\right)^{k}$، کورکورانه بسط ندهید — توان‌ها اجازه می‌دهند به‌صورت تلسکوپی به $\frac{(n+1)^n}{n!}$ ساده شود، و پس از آن $\sqrt[n]{n!}\sim n/e$ بی‌درنگ آن را تمام می‌کند.