سوال ۲۶ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

برپاسازی مسئله با زاویهٔ بین بردارها

فرض کنید $\theta$ زاویهٔ بین بردارهای یکهٔ $\vec{a}$ و $\vec{b}$ باشد، پس $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ و $\vec{a}\cdot\vec{b}=\cos\theta$.

واقعیت هندسی کلیدی: بردار $\vec{a}\times\vec{b}$ بر صفحهٔ گسترده‌شده توسط $\vec{a}$ و $\vec{b}$ عمود است، در حالی که $\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ درون همان صفحه قرار دارد. بنابراین این دو مؤلفه بر هم عمودند و بنا بر قضیهٔ فیثاغورس داریم

$\left|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+\vec{a}\times\vec{b}\right|^2=\left|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^2+\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|^2.$

محاسبهٔ هر جمله

$\left|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^2=\frac{1}{4}\left(|\vec{a}|^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\right)=\frac{2+2\cos\theta}{4}=\frac{1+\cos\theta}{2},$

$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|^2=|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2\sin^2\theta=\sin^2\theta=1-\cos^2\theta.$

اعمال شرط یکه بودن طول

چون بردار حاصل یک بردار یکه است، مجموع را برابر $1$ قرار می‌دهیم و می‌نویسیم $x=\cos\theta$:

$\frac{1+x}{2}+(1-x^2)=1\;\Longrightarrow\;\frac{1+x}{2}-x^2=0\;\Longrightarrow\;2x^2-x-1=0.$

تجزیه می‌کنیم: $(2x+1)(x-1)=0$، که $x=1$ یا $x=-\tfrac{1}{2}$ به دست می‌دهد.

ریشهٔ $x=\cos\theta=1$ ایجاب می‌کند که $\vec{a}=\vec{b}$ باشد که کنار گذاشته شده است. بنابراین

$\cos\theta=-\frac{1}{2}.$

طول بردار تفاضل

$|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2-2\,\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2=2-2\cos\theta=2-2\left(-\tfrac{1}{2}\right)=3.$

پس $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$، که گزینهٔ ۴ است.

نکتهٔ کنکوری: تشخیص اینکه $\vec{a}\times\vec{b}$ بر $\vec{a}+\vec{b}$ عمود است، محاسبهٔ اندازه را به یک مجموع فیثاغورسی تمیز تبدیل می‌کند — بدون نیاز به مختصات. همواره ریشهٔ اضافی ($\vec{a}=\vec{b}$) را با استفاده از فرض مسئله کنار بگذارید.