سوال ۲۷ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۳

این مثالِ کلاسیک کتاب‌های درسی است که نشان می‌دهد مثبت‌بودن مشتق در یک نقطه، یکنوایی را در همسایگی آن نقطه تضمین نمی‌کند.

گام ۱ — مشتق در $0$ وجود دارد و مثبت است

طبق تعریفِ نسبت تفاضلی، $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x+2x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to 0}\left(1+2x\sin\tfrac{1}{x}\right)=1,$ زیرا $\left|2x\sin\frac1x\right|\le 2|x|\to 0$. بنابراین $f'(0)=1$ وجود دارد — گزینهٔ ۱ نادرست است.

گام ۲ — مشتق در خارج از $0$ در علامت نوسان می‌کند

برای $x\neq 0$، با مشتق‌گیری به کمک قاعدهٔ ضرب و قاعدهٔ زنجیره‌ای، $f'(x)=1+4x\sin\tfrac{1}{x}+2x^2\cos\tfrac{1}{x}\cdot\left(-\tfrac{1}{x^2}\right)=1+4x\sin\tfrac{1}{x}-2\cos\tfrac{1}{x}.$ هنگامی که $x\to 0$، جملهٔ $4x\sin\frac1x\to 0$ است، اما $-2\cos\frac1x$ همچنان بین $-2$ و $+2$ نوسان می‌کند.

• قرار دهید $x_n=\dfrac{1}{2\pi n}$: آنگاه $\cos\frac{1}{x_n}=1$، پس $f'(x_n)\to 1-2=-1<0$.
• قرار دهید $x_n=\dfrac{1}{(2n+1)\pi}$: آنگاه $\cos\frac{1}{x_n}=-1$، پس $f'(x_n)\to 1+2=3>0$.

گام ۳ — نتیجه‌گیری

در هر بازه‌ای که شامل $0$ باشد، $f'$ هم مقادیر اکیداً مثبت و هم مقادیر اکیداً منفی اختیار می‌کند. بنابراین $f$ روی برخی زیربازه‌ها صعودی و روی برخی دیگر نزولی است — یعنی روی هیچ بازه‌ای حول $0$ یکنوا نیست. گزینهٔ ۴ درست است و گزینه‌های ۲ و ۳ نادرست‌اند.

نکتهٔ کنکوری: شرط $f'(a)>0$ فقط تضمین می‌کند که $f$ از میان همان نقطهٔ منفردِ $a$ صعودی است (یعنی $f(x)<f(a)<f(y)$ برای $x<a<y$ به‌قدر کافی نزدیک)؛ اما بازه‌ای که $f$ روی آن یکنوا باشد نمی‌دهد، مگر آنکه $f'$ در آنجا پیوسته (یا هم‌علامت) باشد. جملهٔ نوسانی $2x^2\sin(1/x)$ هموار است و مقدار و مشتقش در $0$ صفر می‌شوند، با این حال یک نوسان از مرتبهٔ $O(1)$ را به $f'$ تزریق می‌کند.