سوال ۲۸ کنکور ارشد ریاضی ۱۴۰۵

تنها جایی که ممکن است مشکلی پیش بیاید نقطهٔ اتصال $x=0$ است؛ در دورتر از آن، $f$ به‌وضوح هموار است.

روی $(-1,0)$: تابع $f\equiv 1$ ثابت است، پس پیوسته و مشتق‌پذیر است با $f'(x)=0$.

روی $(0,1]$: تابع $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ نسبت دو تابع مشتق‌پذیر با مخرج ناصفر است، بنابراین پیوسته و مشتق‌پذیر است، با $f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}.$

پیوستگی در $x=0$. مقدار سمت چپ $f(0)=1$ است، و $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sin x}{x}=1=f(0),$ پس $f$ در $0$ پیوسته است، در نتیجه روی کل $[-1,1]$ پیوسته است. این موضوع همین‌جا گزینهٔ ۲ را رد می‌کند، و پیوستگی روی یک بازهٔ بسته $f$ را ریمان‌انتگرال‌پذیر می‌کند، که گزینهٔ ۱ را رد می‌کند.

مشتق‌پذیری در $x=0$. دو مشتق یک‌طرفه را با استفاده از بسط مک‌لورن مقایسه می‌کنیم $\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^{2}}{6}+\frac{x^{4}}{120}-\cdots .$

• مشتق چپ: از $f\equiv 1$، $f'_{-}(0)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)-1}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{0}{x}=0.$
• مشتق راست: $f'_{+}(0)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-\frac{x^{2}}{6}+\cdots}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\left(-\frac{x}{6}+\cdots\right)=0.$

دو مشتق یک‌طرفه با هم برابرند ($f'_{-}(0)=f'_{+}(0)=0$)، پس $f'(0)=0$ موجود است.

بنابراین $f$ در هر نقطه از $(-1,1)$ مشتق‌پذیر است، پس گزینهٔ ۴ برقرار است (و چون قوی‌تر از صرفِ پیوستگی است، گزینهٔ ۳ را نیز که به‌اشتباه ادعای مشتق‌ناپذیری می‌کند رد می‌کند).

نکتهٔ کنکوری: تابع $\dfrac{\sin x}{x}$ (تابع sinc) نه‌تنها پس از رفع ناپیوستگی برداشتنی $\text{sinc}(0)=1$ در $0$ پیوسته است — بلکه هموار نیز هست، و بسط آن $1-\tfrac{x^{2}}{6}+\cdots$ هیچ جملهٔ خطی ندارد، پس شیب آن در $0$ دقیقاً $0$ است، که با قطعهٔ ثابتِ مسطح در سمت چپ همخوانی دارد.