سوال ۲۸ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴

هدف. نوشتنِ

$I=\int_{0}^{\pi/4}\frac{4\sin(4x)}{x+\pi}\,dx$

بر حسب $A=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{\cos x}{(x+4\pi)^{2}}\,dx$.

گام ۱ — تغییر متغیر، تا هر دو انتگرال روی یک بازه قرار گیرند.

انتگرال مطلوب آرگومان $4x$ روی $[0,\pi/4]$ دارد، در حالی که $A$ آرگومان $x$ روی $[0,\pi]$ دارد. قرار می‌دهیم

$u=4x\quad\Rightarrow\quad x=\frac{u}{4},\qquad dx=\frac{du}{4},\qquad x:0\to\tfrac{\pi}{4}\;\Longrightarrow\;u:0\to\pi .$

مخرج به صورت زیر در می‌آید

$x+\pi=\frac{u}{4}+\pi=\frac{u+4\pi}{4},$

که دقیقاً همان شکل $u+4\pi$ ظاهرشده در $A$ است. بنابراین

$I=\int_{0}^{\pi}4\sin(u)\cdot\frac{4}{u+4\pi}\cdot\frac{du}{4}=4\int_{0}^{\pi}\frac{\sin u}{u+4\pi}\,du .$

گام ۲ — انتگرال‌گیری جزء‌به‌جزء برای ساختن $(u+4\pi)^{2}$.

می‌گیریم

$U=\frac{1}{u+4\pi},\qquad dV=\sin u\,du\;\Rightarrow\;V=-\cos u,\qquad dU=-\frac{du}{(u+4\pi)^{2}} .$

آنگاه

$\int_{0}^{\pi}\frac{\sin u}{u+4\pi}\,du=\left[\frac{-\cos u}{u+4\pi}\right]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\frac{\cos u}{(u+4\pi)^{2}}\,du .$

(علامت به این دلیل درست در می‌آید که $-\int V\,dU=-\int(-\cos u)\left(-\frac{du}{(u+4\pi)^{2}}\right)=-\int\frac{\cos u}{(u+4\pi)^{2}}\,du$.)

انتگرال دوم دقیقاً همان $A$ است.

گام ۳ — محاسبهٔ جملهٔ مرزی.

$\left[\frac{-\cos u}{u+4\pi}\right]_{0}^{\pi}=\frac{-\cos\pi}{\pi+4\pi}-\frac{-\cos 0}{0+4\pi}=\frac{1}{5\pi}+\frac{1}{4\pi}=\frac{4+5}{20\pi}=\frac{9}{20\pi}.$

پس

$\int_{0}^{\pi}\frac{\sin u}{u+4\pi}\,du=\frac{9}{20\pi}-A .$

گام ۴ — بازگرداندن ضریب ۴.

$I=4\left(\frac{9}{20\pi}-A\right)=\frac{9}{5\pi}-4A .$

پاسخ: گزینهٔ ۲، $\dfrac{9}{5\pi}-4A$.

چرا گزینه‌های انحرافی نادرست‌اند. فراموش‌کردن انتقال ضریب $4$ حاصل از تغییر متغیر، به $\frac{9}{20\pi}-A$ می‌انجامد (که گزینه‌ای ندارد)؛ اشتباه در به‌کارگیری $dx=\frac{du}{4}$ همراه با $4$ موجود در صورت، به $16A$ نادرستِ گزینه‌های ۳ و ۴ منجر می‌شود؛ و محاسبهٔ جملهٔ مرزی به صورت $\frac{1}{4\pi}-\frac{1}{5\pi}$ یا جاافتادن یکی از حدود، $\frac{9}{4\pi}$ گزینه‌های ۱ و ۳ را تولید می‌کند.

نکتهٔ کنکوری: وقتی مسئله یک انتگرال کمکی $A$ در اختیار شما می‌گذارد، هرگز نکوشید چیزی را به صورت بسته محاسبه کنید — $\int\frac{\cos x}{(x+4\pi)^{2}}dx$ مقدماتی نیست. به جای آن، چنان تغییر متغیری بزنید که هر دو انتگرال حدود یکسان و عامل خطی یکسان داشته باشند، سپس در جهتی جزء‌به‌جزء انتگرال بگیرید که توان مخرج را بالا ببرد (یعنی از $1/(u+4\pi)$ مشتق بگیرید)؛ این کار دقیقاً انتگرال‌ده داده‌شده را می‌سازد.