سوال ۸۷ کنکور ارشد مهندسی مکانیک ۱۴۰۴ — سرعت A برحسب سرعت B، کدام است؟ (بر اساس شکل: واگن A روی یک سطح…

Question

سرعت A برحسب سرعت B، کدام است؟

(بر اساس شکل: واگن A روی یک سطح شیب‌دار قرار دارد و طنابی از A به قرقره کوچک واقع در نقطه C روی سقف می‌رود، سپس از روی قرقره سقفی عبور کرده، به دور یک قرقره متحرک که وزنه B از آن آویزان است می‌پیچد و انتهای آن به سقف بسته شده است؛ بنابراین B توسط دو شاخه طناب نگه داشته می‌شود. فاصله C در راستای مسیر حرکت واگن برابر x و h فاصله ثابت C تا آن مسیر است، به‌طوری که طول طناب بین واگن و C برابر $\sqrt{x^{۲}+h^{۲}}$ است.)

پاسخ صحیح: گزینهٔ C — $V_A = \frac{۲\sqrt{x^{۲}+h^{۲}}}{x}\,V_B$

پاسخ تشریحی

آنچه شکل نشان می‌دهد. یک طناب کشش‌ناپذیر از گاری $A$ روی سطح شیب‌دار خارج می‌شود، تا قرقرهٔ کوچک واقع در $C$ روی نگهدارندهٔ سقفی بالا می‌رود، از روی قرقرهٔ بالایی عبور می‌کند، سپس پایین آمده و دور یک قرقرهٔ متحرک که جسم $B$ را حمل می‌کند می‌پیچد و انتهای آن به سقف مهار شده است. بنابراین $B$ از دو رشتهٔ طناب آویزان است، در حالی که $A$ تنها یک رشته را می‌کشد.

گام ۱ — قید طول (سیستم قرقره‌ای).

فرض کنید $s=\overline{AC}$ طول طناب بین گاری و $C$ باشد و $y$ عمق $B$ نسبت به سقف. طول کل طناب ثابت است:

s + 2y = L = \text{const} \quad\Rightarrow\quad \dot{s} + 2\dot{y} = 0 \quad\Rightarrow\quad |\dot{s}| = 2\,v_B

گاری باید طناب را دو برابر سریع‌تر از حرکت $B$ جمع کند (یا رها کند).

گام ۲ — قید هندسی در محل گاری.

$h$ فاصلهٔ عمودی ثابت قرقرهٔ $C$ از خط راستی است که گاری روی آن حرکت می‌کند و $x$ فاصلهٔ اندازه‌گیری‌شده در امتداد همان خط است؛ پس در هر لحظه

s = \sqrt{x^{2}+h^{2}}

با مشتق‌گیری در حالتی که $h$ ثابت است و $|\dot{x}| = v_A$ :

\dot{s} = \frac{x\,\dot{x}}{\sqrt{x^{2}+h^{2}}} \quad\Rightarrow\quad |\dot{s}| = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+h^{2}}}\; v_A = v_A\cos\theta

که در آن $\theta$ زاویهٔ میان سرعت گاری و طناب $AC$ است. تنها مؤلفهٔ $v_A$ در امتداد طناب طول طناب را تغییر می‌دهد — مؤلفهٔ عمودبرآن صرفاً طناب را می‌چرخاند.

گام ۳ — ترکیب دو قید.

\frac{x}{\sqrt{x^{2}+h^{2}}}\; v_A = 2\,v_B \quad\Rightarrow\quad \boxed{\,v_A = \frac{2\sqrt{x^{2}+h^{2}}}{x}\; v_B\,}

بررسی منطقی پاسخ. چون $\sqrt{x^{2}+h^{2}} \ge x$ است، ضریب همواره $\ge 2$ می‌شود: گاری دست‌کم دو برابر جسم آویزان سریع‌تر است، همان‌طور که وجود قرقرهٔ متحرک ایجاب می‌کند — و هرچه طناب از راستای حرکت بیشتر منحرف شود ( $x \to 0$ ، $\theta \to 90^\circ$ ) گاری باز هم سریع‌تر می‌شود، زیرا در آن حالت طول طناب برای یک جابه‌جایی بزرگ گاری تقریباً تغییری نمی‌کند. گزینه‌های ۱ و ۲ برای $h$ کوچک به $v_A < v_B$ می‌انجامند که با نسبت $2:1$ سیستم قرقره‌ای در تناقض است؛ گزینهٔ ۴ از تصویر نادرست استفاده می‌کند ( $h$ به جای $x$ ).

پاسخ: گزینهٔ ۳.

نکتهٔ کنکوری: مسائل حرکت وابسته با طناب مایل به دو گام جداگانه نیاز دارند: نسبت قرقره (شمردن تعداد رشته‌های نگهدارندهٔ بار) و تصویرکردن سرعت در انتهای متحرک، یعنی $\dot{s} = v\cos\theta$ . فراموش‌کردن کسینوس — یا تصویرکردن روی ضلع نادرست ( $h$ به جای $x$ ) — دقیقاً همان سه گزینهٔ انحرافی این تست را می‌سازد.

Accepted Answer

V_A = frac ۲sqrt x^۲+h^۲ x V_B

Answer

V_A = frac sqrt x^۲+h^۲ ۲h V_B

Answer

V_A = frac sqrt x^۲+h^۲ ۲x V_B

Answer

V_A = frac ۲sqrt x^۲+h^۲ h V_B

کارت‌های مرتبط